[論文レビュー] Differentiability inside sets with upper Minkowski dimension one

Michael Dymond, Olga Maleva|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限次元ユークリッド空間に、上部ミンコフスキー次元が正確に1である明示的なコンパクトな普遍微分可能性集合を構成し、すべてのリプシッツ関数が集合内のある点で微分可能であることを示している。構成法は、有理数の線分の球被覆に基づく入れ子になった閉集合族に依存し、ミンコフスキー内容の推定により、普遍微分可能性の性質と次元制御の両方を保証する。

ABSTRACT

We show that every finite-dimensional Euclidean space contains compact universal differentiability sets of upper Minkowski dimension one. In other words, there are compact sets $S$ of upper Minkowski dimension one such that every Lipschitz function defined on the whole space is differentiable inside $S$. Such sets are constructed explicitly.

研究の動機と目的

• R^d において上部ミンコフスキー次元が1であるコンパクトな普遍微分可能性集合を構成すること。
• 従来の結果を改善し、ハウスドルフ次元ではなくミンコフスキー次元を用いて次元1を達成すること。
• すべてのリプシッツ関数が集合内の稠密な部分集合の各点で微分可能となるような集合の存在を示すこと。
• 普遍微分可能性の性質と正確な次元制御を保証する明示的な構成法を提供すること。

提案手法

• 有理数の線分の有限和の被覆として、半径と密度を制御するパrameter λ ∈ [0,1] を用いて、入れ子になった閉集合族 (U_λ) を定義する。
• パrameter λ を用いて球被覆の半径と密度を制御し、各 k に対して U_λ ⊆ O_k となるようにし、O_k を単調に減少する開被覆とする。
• 最終的な集合 S を、すべての q < 1 について U_q の和集合の閉包として構成し、コンパクト性と普遍微分可能性を保証する。
• 定理2.3を適用して、S がすべてのリプシッツ関数について微分可能点が稠密である普遍微分可能性集合であることを示す。
• 補題3.5を用いて、S の上部ミンコフスキー次元を評価し、s > 1 に対して N_ε(S)ε^s → 0 が ε → 0 のとき成り立つことを示す。
• 幾何的被覆議論と摂動推定（補題4.3および補題4.5を用いて）により、方向的摂動に対しても S の点が必要な ε-近傍内に留まることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d におけるコンパクトな普遍微分可能性集合を、上部ミンコフスキー次元が正確に1となるように構成可能か？
• RQ2 ミンコフスキー次元が最小となるような集合を用いて、普遍微分可能性の性質を達成することは可能か？
• RQ3 このような集合の存在は、普遍微分可能性の性質が小さいミンコフスキー次元と両立可能であることを示唆するか？
• RQ4 抽象的な Gδ 集合に依存するのではなく、明示的かつ幾何的に透明な構成が可能か？
• RQ5 ミンコフスキー次元と、コンパクト集合上でのリプシッツ関数の微分可能性性質との関係は何か？

主な発見

• 任意の d ≥ 1 に対して、上部ミンコフスキー次元が正確に1であるコンパクトな普遍微分可能性集合 S ⊆ R^d が存在する。
• 集合 S は、すべての q < 1 について U_q の和集合の閉包として構成され、コンパクト性と普遍微分可能性が保証される。
• R^d 上のすべてのリプシッツ関数は、S の稠密な部分集合の各点で微分可能であり、普遍微分可能性の性質が確認される。
• S の上部ミンコフスキー次元は1である。これは、S ⊆ U_1 であることと、補題3.5を用いた被覆数の成長の評価により示される。
• 従来の結果を改善し、一般にハウスドルフ次元より大きいミンコフスキー次元を用いても次元1を達成しており、これは最適である。
• 任意のリプシッツ関数 g に対して、S の点で g がフレシェ微分可能である点の集合が S において稠密であることが保証される。