[論文レビュー] Differential Calculus, Manifolds and Lie Groups over Arbitrary Infinite Fields

Wolfgang Bertram, Helge Glöckner+1 more|ArXiv.org|Mar 25, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の無限体および位相環上で一様的で公理的な微分積分学を構築し、古典的な C^k-理論を一般化する。差分商 (f[x+tv]-f[x])/t の連続的拡張を用いて C^1-写像を定義することで、局所凸でない位相線形空間に対しても微分積分学を拡張し、局所凸の場合にはケラーの C^k_c-理論を回復するとともに、実数、複素数、非アーケメデス的設定を一様に取り扱えるようにする。

ABSTRACT

We present an axiomatic approach to finite- and infinite-dimensional differential calculus over arbitrary infinite fields (and, more generally, suitable rings). The corresponding basic theory of manifolds and Lie groups is developed. Special attention is paid to the case of mappings between topological vector spaces over non-discrete topological fields, in particular ultrametric fields or the fields of real and complex numbers. In the latter case, a theory of differentiable mappings between general, not necessarily locally convex spaces is obtained, which in the locally convex case is equivalent to Keller's C^k_c-theory.

研究の動機と目的

• . 任意の無限体および適切な環上で一般の微分積分学を構築すること。
• . 実数、複素数、非アーケメデス的設定の間で、有限次元および無限次元の微分積分学を統一すること。
• . 局所凸でない位相線形空間に対しても微分積分学を拡張すること。
• . 局所凸の場合にケラーの C^k_c-理論に還元される C^k-理論を提供すること。
• . 無限体上の多様体およびリー群の定義の基礎を確立すること。

提案手法

• . 差分商写像 (x,v,t) ↦ (f(x+tv)−f(x))/t を t=0 に連続的に拡張することにより C^1-写像を定義する。
• . f[1](x,v,t) が U[1] = {(x,v,t) | x∈U, x+tv∈U} 上で存在し連続であるという条件を、C^1 の核心的定義とする。
• . 高階差分商および k-多重線形微分形式を用いて C^k-写像への拡張を行う。
• . 非離散位相体上の位相線形空間に理論を適用し、非アーケメデス的およびアーケメデス的体を含む。
• . C^k-アトラスおよび群演算を用いて、多様体およびリー群を構築する。
• . 積分表現およびボーマンの定理を用いて、局所凸の場合にケラーの C^k_c-理論と同等であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 実数や複素数の特定の性質に依存せずに、任意の無限体上に一様な微分積分学を構築できるか？
• RQ2 . 古典的定義が失敗する局所凸でない空間において、C^1-写像をどのように定義できるか？
• RQ3 . 一般の位相線形空間において、差分商の連続的拡張が C^1-写像を特徴付けるか？
• RQ4 . この微分積分学は、局所凸の場合にケラーの C^k_c-理論とどのように関係するか？
• RQ5 . このフレームワークを用いて、任意の位相体上の多様体およびリー群を一貫して定義できるか？

主な発見

• . 差分商写像の連続的拡張による提案された C^1-定義は、実数および複素数の場合に古典的な C^1-理論と同等である。
• . 局所凸の場合に、理論はケラーの C^k_c-理論を回復し、既存の枠組みと整合性があることを裏付けた。
• . この微分積分学は、実数、複素数、非アーケメデス的体に対して一様に適用可能であり、別個の取り扱いを不要にする。
• . この理論により、局所凸でない位相線形空間上でも微分積分学が可能となり、微分幾何学の適用範囲が拡張された。
• . C^k-写像は、k-重線形形式の空間値をとる連続的なk階差分商写像の存在によって特徴づけられる。
• . この理論は、非アーケメデス的体を含む任意の位相体上での無限次元多様体およびリー群の構成を可能にする。