[論文レビュー] Differential Equations Driven by Gaussian Signals II

Peter K. Friz, Nicolas Victoir|ArXiv.org|Nov 5, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ガウスノイズのリーマン・リフトが、ガウスノイズのリーマン・リフトの収束を、リーマン・リフトのトポロジーにおいて確立し、ガウスノイズのリーマン・リフトのサポートが、標準的にリフトされたカマリン＝マーティン空間の閉包に一致することを証明する。マルティンゲール手法の制限を克服するために、抽象的サポート基準を用いて、3次反復積分を厳密に取り扱うことで、ブラウン運動を超えるガウス信号の確率積分理論を拡張する。

ABSTRACT

Large classes of multi-dimensional Gaussian processes can be enhanced with stochastic Levy area(s). In a previous paper, we gave sufficient and essentially necessary conditions, only involving variational properties of the covariance. Following T. Lyons, the resulting lift to a "Gaussian rough path" gives a robust theory of (stochastic) differential equations driven by Gaussian signals with sample path regularity worse than Brownian motion. The purpose of this sequel paper is to establish convergence of Karhunen-Loeve approximations in rough path metrics. Particular care is necessary since martingale arguments are not enough to deal with third iterated integrals. An abstract support criterion for approximately continuous Wiener functionals then gives a description of the support of Gaussian rough paths as the closure of the (canonically lifted) Cameron-Martin space.

研究の動機と目的

• d次元ガウス過程の自然リフトにおける、ガウス過程のリーマン・リフトへのカルフンネン＝ローベ近似の収束を、リーマン・リフトトポロジーで確立すること。
• ブラウン運動より滑らかさが低いサンプルパスを有するガウス信号の確率積分理論を拡張すること。
• 近似的連続なウィENER関数への抽象的サポート基準を用いて、ガウスノイズのリーマン・リフトのサポート記述を提供すること。
• マルティンゲール的議論のみでは不十分である第三位反復積分を、リーマン・リフトの文脈で厳密に取り扱うこと。
• リフトされたガウス過程のサポートが、リフトされたカマリン＝マーティン空間の閉包に一致することを証明すること。

提案手法

• リーマン・リフト理論と「自然リフト」の概念を用いて、ガウス過程に関連するリーマン・リフトを定義する。
• 先行研究の定理1を適用して、近似過程のリフト間のp変動距離に関するL²推定を得る。
• アイダ＝クスウカ＝ストロークの手法を一般化する、近似的連続なウィENER関数への新しい抽象的サポート基準を導入する。
• 第三位反復積分の補正項を導入し、マルティンゲール的議論だけでは適切に取り扱えないことを示す。
• ガウス過程のカルフンネン＝ローベ展開を用いて近似を構成し、それが同じリーマン・リフトに収束することを証明する。
• 摂動論法とカマリン＝マーティンの定理を用いて、リフト過程のサポートが、標準的にリフトされたカマリン＝マーティン空間の閉包に一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元ガウス過程のカルフンネン＝ローベ近似は、リーマン・リフトトポロジーにおいて、その自然リフトに収束するか？
• RQ2 ガウスノイズのリーマン・リフトのサポートは、リフトされたカマリン＝マーティン空間の閉包として特徴付けられるか？
• RQ3 マルティンゲール的手法が失敗する状況下で、ガウスノイズのリーマン・リフトにおける第三位反復積分をどのように厳密に定義・制御できるか？
• RQ4 完全なカマリン＝マーティン移動不変性が成り立たない状況下で、ガウスノイズのリーマン・リフトのサポートを記述するために必要な抽象的関数解析的道具は何か？
• RQ5 ガウス過程のリーマン・リフトが、区分線形近似やカルフンネン＝ローベ近似といった近似スキームの選択にどれほど依存するか？

主な発見

• d次元ガウス過程のカルフンネン＝ローベ近似は、p変動リーマン・リフトトポロジーにおいて、自然リフトに収束する。
• ガウスノイズのリーマン・リフトのサポートは、リーマン・リフトトポロジーにおいて、標準的にリフトされたカマリン＝マーティン空間の閉包に一致する。
• リーマン・リフトにおける第三位反復積分は、マルティンゲール的議論だけでは捉えられず、精密な補正項が必要である。
• 近似的連続なウィENER関数への抽象的サポート基準により、リフトの完全な移動不変性を仮定せずとも、サポート記述が可能になる。
• 収束結果は、共分散関数がρ∈[1,2)に対して有限のρ変動を持つという条件下で成り立つ。これは、Hurst指数H≤1/2の分数ブラウン運動を含む。
• 理論は、ブラウン運動より滑らかさが劣る一般の多変量ガウス過程に適用可能であり、リーマン・リフト確率積分の理論的枠組みを拡張する。