[論文レビュー] Differential forms and Hodge numbers for toric complete intersections

Helmut A. Hamm|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、代数的トーラス内の非退化完全交差のEuler-Hodge特性を利用して、擬滑らかトーリック完全交差のホッジ数を計算する手法を開発する。非退化性の無限遠における概念を導入することで、滑らかでないトーリック多様体への計算を拡張し、トーリックデータから得られる数値不変量を用いて、コンパクトで擬滑らかな完全交差の明示的ホッジ数計算を可能にする。

ABSTRACT

We discuss conditions for complete intersections in a toric variety which allow to compute Hodge numbers if the complete intersection is a quasi-smooth complete variety. A preliminary step is the computation of the Euler characteristic of differential forms, we also look at symmetric or arbitrary forms instead of the usual alternating ones.

研究の動機と目的

• 射影的完全交差からトーリック完全交差へのホッジ数計算を一般化すること。
• ホッジ数の公式の適用範囲を、トーリック多様体内の擬滑らかでコンパクトな完全交差へ拡張すること。
• より広いクラスの多様体におけるホッジ数計算のために、無限遠における非退化性の概念を導入し、それを活用すること。
• トーリックデータから得られる数値不変量と微分形式を用いた、ホッジ数を体系的に計算するための手法を提供すること。

提案手法

• 本稿は、Danilov と Khovanskiïuf0b1 による先行研究に基づき、トーラス内の非退化完全交差のEuler-Hodge特性を用いる。
• R^{r+m} におけるファンを用いたトーリック多様体の修正された商構成を導入し、環境空間の幾何を単純化する。
• D-K のラグランジュ乗数法とは異なり、部分還元を用いて環境トーリック多様体の次元を増加させない。
• 完全交差における無限遠における非退化性を定義し、コンパクトで擬滑らかな多様体がこのような交差に分解可能な場合のホッジ数計算を可能にする。
• まず微分形式のEuler特性を計算し、その後Euler-Hodge特性分解を用いてホッジ数に進む。
• 有理コホモロジーに対するLefschetz定理を適用し、低次のホッジBetti数を導出し、問題を微分形式のEuler特性 e^p(Y) の計算に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体内の擬滑らか完全交差で、滑らかでも射影的でもない場合のホッジ数は、どのように計算できるか？
• RQ2 トーリックファングから得られる数値不変量によって、トーリック完全交差のホッジ数が計算可能であるための条件は何か？
• RQ3 無限遠における非退化性の概念を用いて、滑らかなトーリック完全交差を超えるホッジ数計算を一般化できるか？
• RQ4 トーリック完全交差のホッジ数は、その環境トーリック多様体および部分多様体のホッジ数とどのように関係するか？
• RQ5 ホッジ数が微分形式のEuler特性のみから決定可能となる状況はどのような場合か？

主な発見

• コンパクトで擬滑らかなトーリック完全交差 Y に対して、ホッジ数 h^{pq}(Y) は、Y がトーラス内の非退化完全交差に分解可能である場合に計算可能である。
• 重み付き射影空間または射影空間の積内の完全交差に対しては、p+q ≠ n のとき h^{pq}(Y) = δ_{pq} を満たし、問題は微分形式のEuler特性 e^p(Y) の計算に帰着される。
• 例 3.3.2 では、多様体 Y が P^1 に同型であることが示され、ホッジ数は h^{00}=h^{11}=1 で、他はすべて 0 である。
• 例 3.3.3 では、h^{11}(Y) = h^{11}(Z) + 2 であり、Z は有理曲線で h^{11}(Z)=1 であるから、h^{11}(Y)=3 であり、(p,q)≠(1,1) の場合、他の h^{pq}(Y) は h^{pq}(Z) と一致する。
• 例 3.3.4 では、Y がヒルツェブルの表面 Σ_1 に同型であることが示され、P^1×P^1 と同じホッジ数を持つが、位相的に同相ではない。
• 本稿では、非退化完全交差のトーラス内におけるEuler-Hodge特性 e^{pq} を用いて、トーリック完全交差のホッジ数が計算可能であることが確立され、[D-K] の結果を環境次元を増加させずに拡張する。