[論文レビュー] Differential Reduction Algorithms for the All-Order Epsilon Expansion of Hypergeometric Functions

S.A. Yost, M.Yu. Kalmykov+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、反復積分と一般化多対数関数を用いて、整数パラメータ値の周囲におけるAppell超幾何関数 $F_1$ のすべての次数の ε-展開を計算する微分還元アルゴリズムを提示する。この手法は、連立微分方程式を再帰的に解くことで、ε におけるローラン級数係数を体系的に構成し、ニールセン多対数関数および多重多対数関数を用いた最初の数項の明示的表現をもたらす。

ABSTRACT

Hypergeometric functions provide a useful representation of Feynman diagrams occuring in precision phenomenology. In dimension regularization, the epsilon-expansion of these functions about d=4 is required. We discuss the current status of differential reduction algorithms. As an illustration, we consider the construction of the all-order epsilon-expansion of the Appell hypergeometric function about integer values of the parameters and present an explicit evaluations of the first few terms.

研究の動機と目的

• 次元正則化における超幾何関数、特にAppell $F_1$ のすべての次数の ε-展開を体系的に計算するための手法を開発すること。
• 整数パラメータ値の周囲における超幾何関数の ε-ローラン級数展開を構築するという課題に取り組むこと、これは高精度な量子場の理論における重要な問題である。
• 微分方程式と反復積分に基づく反復的アルゴリズムを提供し、高次の ε-展開係数を既知の特殊関数の形で表現すること。
• $F_1$ の ε-展開の最初の数項を明示的に計算することで、この手法の有効性を実証すること。

提案手法

• この手法は、$F_1(a,b_1,b_2,c;z_1,z_2)$ をパラメータがずれた関数およびその第一導関数の線形結合に表現するための微分還元を用いる。
• $z_1$ および $z_2$ における連立微分方程式を満たす基底関数 $\omega_0(z_1,z_2) = F_1(a\varepsilon, b_1\varepsilon, b_2\varepsilon, 1+c\varepsilon; z_1, z_2)$ を用いる。
• ε における展開は、ε の各次数ごとに微分方程式を解くことで反復的に構成され、特性曲線法を用いて $C = z_2/z_1$ をパラメータとする $z_1$ における一階常微分方程式に還元される。
• 解は $I(a_k, \dots, a_1; z)$ の形の反復積分を含み、これは $G$-関数を介して多重多対数関数と関係づけられる。
• アルゴリズムは、$\text{Li}_2$, $\text{Li}_3$, および $S_{1,2}$ 関数を含む一般化多対数関数を用いて、係数 $\omega_r^{(j)}(z_1,z_2)$ を表現する。
• この手法は、既知のすべての次数のガウス超幾何関数 ${}_2F_1$ の ε-展開を入力として用い、$F_1$ 展開を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数パラメータ値の周囲におけるAppell超幾何関数 $F_1$ のすべての次数の ε-展開をどのように体系的に計算できるか？
• RQ2 $F_1$ の ε-展開係数の構造は、多対数関数などの特殊関数の観点からどのように記述できるか？
• RQ3 微分還元および反復積分技術を用いて、$F_1$ の ε-展開のための再帰的アルゴリズムを導出できるか？
• RQ4 ε-展開の係数は、より単純な ${}_2F_1$ 関数の係数とどのように関係しているか？

主な発見

• 2次非自明な ε-展開係数 $\omega_0^{(2)}(z_1,z_2)$ は $\sum_{r=1,2} ab_r \, \text{Li}_2(z_r)$ で与えられ、$\omega_r^{(2)}(z_1,z_2) = -\sum_{r=1,2} ab_r \ln(1 - z_r)$ である。
• 3次係数 $\frac{1}{a}\omega_0^{(3)}(z_1,z_2)$ は $\text{Li}_3(z_r)$, $S_{1,2}(z_r)$、および $\frac{1 - z_1}{1 - z_2}$ を含む非自明な多重多対数関数の組み合わせで表現される。
• 解の構造により、すべての積分的成分が $\frac{1}{1-t}$ および $\frac{1}{t}$ のみに依存することが保証され、最終的な結果が多重多対数関数のクラスに属することを保証する。
• この手法は、反復積分と既知の ${}_2F_1$ 展開を用いて $F_1$ 展開を解ける系に還元し、すべての ε のべきの再帰的計算を可能にする。
• アルゴリズムは自己一貫的かつパラメータシフトの操作に対して閉じており、完全なすべての次数の ε-展開を可能にする。