[論文レビュー] Diffusion approximation for efficiency-driven queues: A space-time scaling approach

Shuangchi He|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、効率性駆動型の領域におけるGI/GI/n + GI キューに、空間時間スケーリングを用いた拡散近似を提案する。1次元の拡散過程を用いて仮想待機時間をモデル化し、特に、忍耐時間がサービス時間の数倍以上に及ぶ状況では、指数分布に従うサービス時間に基づくモデルを上回る精度を達成する閉形式の近似を、サービス水準や離脱率といった性能指標について得る。

ABSTRACT

Motivated by call center practice, we propose a tractable model for $\mbox{GI}/\mbox{GI}/n+\mbox{GI}$ queues in the efficiency-driven (ED) regime. We use a one-dimensional diffusion process to approximate the virtual waiting time process that is scaled in both space and time, with the number of servers and the mean patience time as the respective scaling factors. Using this diffusion model, we obtain the steady-state distributions of virtual waiting time and queue length, which in turn yield simple formulas for performance measures such as the service level and the effective abandonment fraction. These formulas are generally accurate when the mean patience time is several times longer than the mean service time and the patience time distribution does not change rapidly around the mean virtual waiting time. For practical purposes, these formulas outperform existing results that rely on the exponential service time assumption. To justify the diffusion model, we formulate an asymptotic framework by considering a sequence of queues, in which both the number of servers and the mean patience time go to infinity. We prove that the space-time scaled virtual waiting time process converges in distribution to the one-dimensional diffusion process. A fundamental result for proving the diffusion limit is a functional central limit theorem (FCLT) for the superposition of renewal processes. We prove that the superposition of many independent, identically distributed stationary renewal processes, after being centered and scaled in space and time, converges in distribution to a Brownian motion. As a useful technical tool, this theorem characterizes the service completion process in heavy traffic, allowing us to greatly simplify the many-server analysis when service times follow a general distribution.

研究の動機と目的

• コスト最適化が目的のサービス品質最適化ではない効率性駆動型（ED）領域における多数サーバーのキューの、取り扱いやすく高精度なモデルの開発。
• 現行のモデルが指数分布に従うサービス時間の仮定に依存しているという限界を是正すること。これは、現実のコールセンタではしばしば現実的ではない。
• 一般サービス時間および忍耐時間分布のもとで、サービス水準や有効離脱率といった主要な性能指標の閉形式近似を提供すること。
• 両方のサーバー数と平均忍耐時間が大きくなる漸近的枠組みにおいて、拡散近似を正当化すること。
• i.i.d.定常再生過程の重ね合わせに対する関数中心極限定理（FCLT）を確立し、一般サービス時間分布のもとでの多数サーバー・キュー解析を簡略化すること。

提案手法

• 仮想待機時間過程に空間時間スケーリングを適用し、スケーリング要因としてサーバー数と平均忍耐時間を用いる。
• 漸近的キュー列において、スケーリングされた仮想待機時間過程は、1次元の拡散過程に分布収束する。
• i.i.d.定常再生過程の重ね合わせに対する関数中心極限定理（FCLT）を証明し、中心化およびスケーリング後にブラウン運動に収束することを示す。
• このFCLTにより、サービス完了プロセスが特徴付けられ、無限次元の年齢または残存時間プロセスを追跡することなく、一般サービス時間分布をもつキューの解析が可能になる。
• 拡散極限から、仮想待機時間およびキュー長の定常分布が導出され、性能指標の近似が可能になる。
• 数値実験により、モデルの妥当性が検証され、忍耐時間がサービス時間よりも著しく長い状況では、指数分布に従うサービス時間に基づく既存モデルを上回る精度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 効率性駆動型領域におけるGI/GI/n + GI キューに対して、指数分布に従うサービス時間の仮定を避けられる拡散近似を開発できるか？
• RQ2 一般サービス時間および忍耐時間分布のもとで、仮想待機時間プロセスの空間時間スケーリングが、どのように扱いやすい拡散極限を導くか？
• RQ3 多数のi.i.d.定常再生過程の重ね合わせの極限的挙動は何か？ また、それはどのように拡散近似を支持するか？
• RQ4 本稿で提案するモデルは、指数分布に従うサービス時間に基づく既存モデルと比較して、サービス水準および離脱率の推定精度をどの程度向上させるか？
• RQ5 拡散近似が信頼できる定常状態性能推定を提供する条件は何か？

主な発見

• サーバー数と平均忍耐時間が大きくなるにつれ、空間時間スケーリングされた仮想待機時間プロセスは、1次元の拡散過程に分布収束する。
• 拡散モデルにおける仮想待機時間の定常分布により、サービス水準や有効離脱率といった性能指標の閉形式近似が可能になる。
• 平均忍耐時間が平均サービス時間の数倍以上に及ぶ場合に、高い精度を達成する。これは、現実のコールセンタで経験的に観察される条件である。
• i.i.d.再生過程の重ね合わせに対する関数中心極限定理により、スケーリングされたプロセスがブラウン運動に収束することが示され、分析の重要な技術的基盤が提供される。
• 数値実験により、本稿で提案するモデルが、指数分布に従うサービス時間に基づく既存モデルを実用的状況で上回ることを示している。
• 拡散近似により、一般サービス時間を持つ多数サーバー・キューの解析が簡略化され、無限次元プロセスの追跡を回避することで、取り扱いやすい性能評価が可能になる。