[論文レビュー] Dimension Data, Local and Global Conjugacy in Reductive Groups

Song Wang|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、再帰的群の半単純部分群が、表現における固定部分空間の次元（次元データ）によって、同型や共軛性の意味でどの程度決定されるかを調査する。特定の古典的および例外的群（例：$SO(2N)$, $Sp(2N)$, $O(N)$）に対して、部分群が既約であるとき、次元データは全体的な共軛性を決定するが、局所的共軛性（半単純元の共軛性）が全体的共軛性を意味しない反例を明示的に構成する。その結果、同一の次元データを持つが同型でない埋め込みが存在する。主な貢献は、$SO(2N)$ への単純リー群の非共軛埋め込みの族を、局所的には共軛だが全体的には共軛でない形で構成し、自動形式における重複度1の問題に影響を与えることである。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group (over $\mathbb{C}$) and H a connected semisimple subgroup. The dimension data of H (realative to its given embedding in G) is the collection of the numbers $\{{ m dim} V^{H}\}$, where V runs over all the finite dimensional representations of G. By a Theorem of Larsen-Pink ([L-P90]), the dimension data determines H up to isomorphism, and if G = GL (n) even up to conjugacy. Professor Langlands raised the question as to whether the strong (conjugacy) result holds for arbitrary G. In this paper We provided the following (negative) answer: If H is simple of type A_{4 n}, $B_{2 n} (n \geq 2)$, $C_{2 n} (n \geq 2)$, E_{6}, E_{8}, F_{4} and G_{2}, then there exist (for suitable $N$) pairs of embeddings i and i' of H into $G = SO (2 N)$ such that there image i (H) and i' (H) have the same dimension data but are not conjugate. In fact we have shown that i (H) and i' (H) are \emph{locally conjugate}, i.e., that i (h) and i' (h) are conjugate in G for all semisimple $h \in H$. If one assumes functoriality, this result will furnish the failure of multiplicity one for automorphic forms on such G over global fields. Such things are known in the disconnected cases, especially when H is finite, as in the works of Blasius [Blasius94] for $SL (n) (n \geq 3)$ and Gan-Gurevich-Jiang2002 ([Gan]) for G_{2}.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ 内の半単純部分群 $H$ が、すべての表現における固定部分空間の次元（次元データ）によって、同型または共軛性の意味で決定されるかを特定すること。
• 次元データの文脈において、局所的共軛性（半単純元の共軛性）と全体的共軛性（部分群全体の共軛性）の違いを調査すること。
• $SO(2N)$ への単純リー群の非共軛な埋め込みの明示的例を、同一の次元データを持つように構成することにより、次元データが常に全体的共軛性を決定するとは限らないことを示すこと。
• このような局所的・全体的共軛性の不一致が、Langlands関手性および自動形式の重複度1に与える算術的影響を調査すること。
• 局所的共軛性条件を主要な道具として用いて、古典的群にZariski稠密な像を持つガロア表現を構築するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本稿は、複素再帰的群の表現論に焦点を当て、特に随伴表現とその外積冪を用いて、すべての表現 $\rho: G \to GL(V)$ に対して $\dim V^H$ として次元データを定義する。
• Larsen と Pink の $GL(n,\mathbb{C})$ における次元データの結果を、$SO(N)$, $Sp(2N)$, $O(N)$ などの古典的群に拡張し、次元データが部分群を全体的共軛性の意味で決定する条件を確立する。
• 反例の構成は、$SO(2N)$ の外部自己同型に依存し、特に $O(2N) \setminus SO(2N)$ に属する要素による共軛を用いて、単純リー群 $H$ の $G = SO(2N)$ への第二の埋め込み $i' = \tau \circ i$ を定義する。
• 本稿は、$H$ が型 $A_{4n}, B_{2n}, C_{2n}, E_6, E_8, F_4, G_2$ のとき、随伴表現 $i$ と $i' = \tau \circ i$ が同じ次元データを持つが、全体的には共軛でないことを証明する。一方、これらは局所的には共軛である。
• Tchebotarev密度定理と $L$-因子を用いて、局所的共軛性が $L$-関数の等価性を意味することを示し、フロベニウス共軛性が一致する $L$-因子をもたらすことを証明する。
• Arthur の重複度公式と Langlands 関手性を適用し、このような局所的・全体的共軛性の不一致が、重複度が1より大きいカスプ形式を生じうることを示す。特に Langlands 群が連結である場合に顕著である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群 $G$ 内の半単純部分群 $H$ の次元データ（すべての表現における固定部分空間の次元）は、$G$ 内で $H$ を全体的共軛性の意味で決定するか？
• RQ2 $SO(2N)$ への単純リー群の非共軛な埋め込みが、同じ次元データを持つことは可能か？ たとえそれらが局所的に共軛であっても。
• RQ3 再帰的群において、半単純元の共軛性（局所的共軛性）が、全体的共軛性を意味する条件は何か？
• RQ4 次元データにおける全体的共軛性の失敗が、自動形式の重複度1予想に与える影響は何か？
• RQ5 このような局所的・全体的共軛性の現象は、数体上でのガロア表現および自動形式において実現可能か？

主な発見

• $G = SO(2N)$, $Sp(2N)$, または $O(N)$ のとき、連結な半単純群 $H$ の2つの既約表現が同じ次元データを持つならば、それらの像は $G$ 内で内自己同型によって共軛となる。したがって、それらは全体的に共軛である。
• 本稿は、$SO(2N)$ への単純リー群 $H$ の2つの埋め込み $i$ と $i' = \tau \circ i$ の明示的反例を構成する。これらは同じ次元データを持つが、全体的には共軛でない。一方、局所的には共軛である。
• 反例は、$H$ のリー代数が型 $A_{4n}$ ($n \geq 1$)、$B_{2n}$ ($n \geq 2$)、$C_{2n}$ ($n \geq 2$)、$E_6$、$E_8$、$F_4$、または $G_2$ である場合に生じる。$i$ は随伴表現である。
• $H = SO(5)$, $G = SO(10)$ の場合、随伴表現と外積平方表現は、局所的には共軛だが、全体的には共軸でない埋め込みをもたらす。後者は $SO(10)$ の外部自己同型によってねじれられている。
• 同一の次元データにもかかわらず全体的共軛性が失敗するため、$SO(2N)/F$ 上のカスプ形式に重複度が1より大きくなる場合がある。Langlands 関手性と Arthur の重複度公式の仮定の下で成立する。
• この構成は、任意の標数0の代数的閉体、特に $\overline{\mathbb{Q}}$ および $\overline{\mathbb{Q}}_l$ において有効であり、$Sp(4)$ にZariski稠密な像を持つ $l$-進ガロア表現に影響を与える。