[論文レビュー] Dimension hopping and families of strictly positive definite zonal basis functions on spheres

R. K. Beatson, Wolfgang zu Castell|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、球面上のゾーナル関数に対して次元飛び越え作用素を導入し、新たな厳密に正定値でコンパクトな台を持つ基底関数の族の構築を可能にする。球面キャップの特性関数を畳み込み、持ち上げ作用素を適用することで、S³、S⁵、S⁷、S⁹におけるこのような関数の明示的で計算効率の良い表現が得られ、厳密な正定値性が保証される。

ABSTRACT

Positive definite functions of compact support are widely used for radial basis function approximation as well as for estimation of spatial processes in geostatistics. Several constructions of such functions for ${\mathbb R}^d$ are based upon recurrence operators. These map functions of such type in a given space dimension onto similar ones in a space of lower or higher dimension. We provide analogs of these dimension hopping operators for positive definite, and strictly positive definite, zonal (radial) functions on the sphere. These operators are then used to provide new families of strictly positive definite functions with local support on the sphere.

研究の動機と目的

• 球面上のゾーナル関数に対して、径数関数の次元飛び越え作用素の類似物を構築し、厳密および非厳密な正定値性を保つこと。
• さまざまな次元の球面上で、新たなコンパクトな台を持つ厳密に正定値なゾーナル関数の族を構築すること。
• 得られた関数が計算的に効率的であり、無限級数を避けて低コストな評価が可能であることを保証すること。
• 自己畳み込みを用いた球面キャップ指標関数に基づく、このような関数の生成法を確立すること。

提案手法

• ユークリッド空間におけるものと類似する、球面上のゾーナル関数のための次元飛び越え作用素（モンティ、デスエンテ）を導入する。
• 区間 $[-1,1]$ における畳み込み作用素 $ ho_{ heta} o ho_{ heta} riangleq ho riangleleft_{ u} ho $ を用い、球面キャップの特性関数から新しいゾーナル関数を生成する。
• 関数を低次元の球面から高次元の球面へ写像するための持ち上げ作用素 $ ilde{ ho} = rac{1}{2} rac{d}{d heta} ho $ を適用する。
• $ u = 0 $ の場合の畳み込みを計算し、複数回の持ち上げ作用素 $ ilde{ ho} $ を適用することで、$ ext{S}^d $ 上の関数の明示的閉形式表現を導出する。
• 関数が $ x = 1 $ で値 1 をとるように正規化し、補間および近似に適した形にする。
• Gegenbauer係数の無限に多くの正の値が、奇数および偶数インデックスの両方で存在することを確認することで、厳密な正定値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ ext{R}^d $ における径数関数の次元飛び越え作用素を、球面 $ ext{S}^d $ 上のゾーナル関数に適応可能か。この場合、正定値性が保たれるか。
• RQ2 球面キャップの特性関数の自己畳み込みによって、$ ext{S}^d $ 上でコンパクトな台を持つ厳密に正定値なゾーナル関数を生成可能か。
• RQ3 $ ext{S}^3, ext{S}^5, ext{S}^7, ext{S}^9 $ 上で、このような厳密に正定値なゾーナル関数に対して明示的で計算効率の良い形を導出可能か。
• RQ4 得られた関数のGegenbauer展開係数をどのように分析すれば、厳密な正定値性を確認できるか。

主な発見

• 著者らは、$ ext{S}^3, ext{S}^5, ext{S}^7, ext{S}^9 $ 上で、コンパクトな台を持つ厳密に正定値なゾーナル基底関数の明示的で閉形式の表現を構築した。
• S³ 上の関数 $ N_3(x) $ は $ 1 + b\text{arccos}(x) + d\frac{\text{sign}(1-x)}{\text{sign}(1+x)}\frac{1}{\text{sign}(1+x)} $ で与えられ、$ s = \text{arccos}(c) $ から導かれる係数を有し、$ x \neq \text{cos}(2s) $ で消失する。
• S⁵ 上では、関数 $ N_5(x) $ に $ v = 1 + x $ に関する追加の有理関数項が含まれ、係数は $ \text{cos}(s) $ に依存し、$ x = 1 $ で値 1 に正規化されている。
• S⁷ 上の関数 $ N_7(x) $ は $ \frac{1}{(1+x)^2} $ までの項を含み、3次畳み込みと持ち上げ操作から導かれる係数を有する。
• S⁹ 上の関数 $ N_9(x) $ は $ \frac{1}{(1+x)^3} $ までの項を含み、$ \text{cos}^8(s) $ を含む明示的係数を有し、4回の持ち上げ作用素の適用により導出される。
• すべての構築された関数は、Chen, Menegatto, and Sun の特徴付けに従い、偶数および奇数インデックスの両方で無限に多くの正のGegenbauer係数が存在するため、厳密に正定値である。