[论文解读] Dimensions of three types of BCH codes over GF(q)

Hao Liu, Cunsheng Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文确定了有限域 GF(q) 上三类 BCH 码的维数：长度为 $ n = q^m - 1 $ 的本原 BCH 码、长度为 $ n = (q^m - 1)/(q - 1) $ 的射影 BCH 码，以及长度为 $ n = q^m + 1 $ 的 BCH 码。它推导出当 $ \delta \leq q^{\lceil m/2 \rceil + 1} $ 时，窄义本原 BCH 码的维数显式公式，扩展了已知的最小距离结果，并为非窄义和射影情形提供了新的维数公式，显著扩大了这些重要纠错码的已知参数集合。

ABSTRACT

BCH codes have been studied for over fifty years and widely employed in consumer devices, communication systems, and data storage systems. However, the dimension of BCH codes is settled only for a very small number of cases. In this paper, we study the dimensions of BCH codes over finite fields with three types of lengths $n$, namely $n=q^m-1$, $n=(q^m-1)/(q-1)$ and $n=q^m+1$. For narrow-sense primitive BCH codes with designed distance $δ$, we investigate their dimensions for $δ$ in the range $1\le δ\le q^{\lceil\frac{m}{2} ceil+1}$. For non-narrow sense primitive BCH codes, we provide two general formulas on their dimensions and give the dimensions explicitly in some cases. Furthermore, we settle the minimum distances of some primitive BCH codes. We also explore the dimensions of the BCH codes of lengths $n=(q^m-1)/(q-1)$ and $n=q^m+1$ over finite fields.

研究动机与目标

• 确定 GF(q) 上窄义本原 BCH 码在广泛设计距离 $\delta$ 范围内的维数。
• 通过推导一般公式并计算具体情形，扩展对非窄义本原 BCH 码维数的已有结果。
• 研究长度 $n = (q^m - 1)/(q - 1)$ 和 $n = q^m + 1$ 的 BCH 码的维数，包括射影码和可逆循环码。
• 利用已知的理论界和结构分析，确定某些本原 BCH 码的最小距离。
• 通过为此前未研究的参数范围（特别是 $n = q^m + 1$ 和奇数 $m$）提供显式维数公式，填补文献中的空白。

提出的方法

• 利用模 $n$ 的分圆陪集结构来计算 BCH 码的定义集，其中维数由 $q$-分圆陪集并集的大小导出。
• 应用整数的 $q$-进制展开来刻画陪集生成元，并确定何时一个元素是其陪集的最小代表。
• 采用公式 $\dim(\mathcal{C}) = n - \left| \bigcup_{a \in [b, b + \delta - 2]} C_a \right| $，其中 $C_a$ 是模 $n$ 的 $q$-分圆陪集，以计算维数。
• 通过分析定义区间 $[1, \delta - 1]$ 中不同陪集的数量，推导出窄义 BCH 码维数的闭式表达式。
• 利用 $q$-分圆陪集的结构性质，证明某些整数是陪集生成元，从而实现维数的精确计算。
• 应用已知的最小距离界（例如 BCH 界 $d \geq \delta$），并通过代数分析加以扩展，以在特殊情形下确定精确的最小距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\delta \leq q^{\lceil m/2 \rceil + 1}$ 时，GF(q) 上窄义本原 BCH 码的维数是多少？
• RQ2 非窄义本原 BCH 码的维数如何推广？其特定 $\delta$ 下的显式维数是什么？
• RQ3 对于长度 $n = (q^m - 1)/(q - 1)$ 和 $n = q^m + 1$ 的 BCH 码，其在不同 $\delta$ 下的维数是多少？
• RQ4 对于哪些 $\delta$ 值，本原 BCH 码的最小距离可以被精确确定？
• RQ5 在模 $n = q^m \pm 1$ 的 $q$-分圆陪集中，哪些整数是陪集生成元？这如何影响码的维数？

主要发现

• 对于所有满足 $1 \leq \delta \leq q^{\lceil m/2 \rceil + 1}$ 的 $\delta$，GF(q) 上长度为 $n = q^m - 1$ 的窄义本原 BCH 码的维数已确定，扩展了先前的结果。
• 当 $m \geq 4$ 为偶数时，窄义 BCH 码 $\mathcal{C}_{(q^m+1, q, \delta, 1)}$ 的维数为 $q^m + 1 - 2m(\delta - 1 - \lfloor (\delta - 1)/q \rfloor)$，其中 $2 \leq \delta \leq q^{m/2}$。
• 当 $m \geq 3$ 为奇数时，$\mathcal{C}_{(q^m+1, q, \delta, 1)}$ 的维数由分段公式给出，取决于 $\delta \leq q^{(m+1)/2} - q$ 还是 $\delta > q^{(m+1)/2} - q$。
• 非窄义码 $\mathcal{C}_{(q^m+1, q, \delta+1, 0)}$ 的维数为 $q^m - 2m(\delta - \lfloor \delta/q \rfloor)$，其最小距离至少为 $2\delta$。
• 对于长度 $n = (q^m - 1)/(q - 1)$ 的射影 BCH 码且 $m$ 为奇数，其在某些 $\delta$ 下的维数已被显式计算，补充了文献 [7] 中的早期结果。
• 本文识别出 $q^{(m+1)/2} - q + 1$ 是模 $n = q^m - 1$ 下最小的非零 $a$，其不是陪集生成元，这有助于维数分析。