[論文レビュー] Dimer coverings on the Sierpinski gasket with possible vacancies on the outmost vertices

Shu-Chiuan Chang, Lung‐Chi Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、d = 2,3,4,5 の場合のシエルピンスキー・ギャッベ断層 $SG_d(n)$ および b=3,4,5 の一般化された $SG_{d,b}(n)$ におけるダイマー被覆の正確な式を導出している。頂点数が奇数の場合、外縁頂点に空席を許容する。d=2 の場合、サイトあたりのエントロピー $S_{SG_d}$ を正確に計算し、d=3,4,5 の場合、段階 $n$ が増加するにつれて急速に収束する厳密な上界と下界を用いて、100桁以上の精度で数値的推定値を提供している。$SG_2(n)$ のエントロピーは正確に $\ln(2)/3 \approx 0.231049$ である。

ABSTRACT

We present the number of dimers $N_d(n)$ on the Sierpinski gasket $SG_d(n)$ at stage $n$ with dimension $d$ equal to two, three, four or five, where one of the outmost vertices is not covered when the number of vertices $v(n)$ is an odd number. The entropy of absorption of diatomic molecules per site, defined as $S_{SG_d}=\lim_{n o \infty} \ln N_d(n)/v(n)$, is calculated to be $\ln(2)/3$ exactly for $SG_2(n)$. The numbers of dimers on the generalized Sierpinski gasket $SG_{d,b}(n)$ with $d=2$ and $b=3,4,5$ are also obtained exactly. Their entropies are equal to $\ln(6)/7$, $\ln(28)/12$, $\ln(200)/18$, respectively. The upper and lower bounds for the entropy are derived in terms of the results at a certain stage for $SG_d(n)$ with $d=3,4,5$. As the difference between these bounds converges quickly to zero as the calculated stage increases, the numerical value of $S_{SG_d}$ with $d=3,4,5$ can be evaluated with more than a hundred significant figures accurate.

研究の動機と目的

• 頂点数が奇数の場合、外縁頂点に空席を許容するシエルピンスキー・ギャッベ $SG_d(n)$ におけるダイマー被覆の列挙。
• サイトあたりのダイマー吸着エントロピー $S_{SG_d} = \lim_{n\to\infty} \ln N_d(n)/v(n)$ を、d=2 では正確に、d=3,4,5 では高精度で数値的に計算すること。
• b ≥ 3 の場合の一般化モデル $SG_{d,b}(n)$ を導入し、d=2 および b=3,4,5 におけるエントロピーの正確な式を導出すること。
• d=3,4,5 の場合の $S_{SG_d}$ に対して、急速に収束する上界と下界を確立し、高精度な数値評価を可能にすること。
• シエルピンスキー・ギャッベ断層におけるダイマー被覆のエントロピーと、正則な $d$ 次元超立方格子 $\mathcal{L}_d$ におけるエントロピーを比較すること。

提案手法

• シエルピンスキー・ギャッベ $SG_d(n)$ の自己相似性を用いて、外縁頂点の空席を考慮したダイマー被覆数 $N_d(n)$ の正確な再帰的関係式を導出する。
• 伝達行列法および再帰的分解技術を用いて、特に2次元における b=3,4,5 の場合の $SG_{d,b}(n)$ 上のダイマー配置をモデル化する。
• エントロピーを $S_{SG_d} = \lim_{n\to\infty} \ln N_d(n)/v(n)$ として定義し、閉形式解を用いて d=2 および b=3,4,5 の場合の正確な値を導出する。
• 有限段階 $n$ における $N_d(n)$ の成長を分析することで、d=3,4,5 の場合の $S_{SG_d}$ の上界と下界を確立する。
• 上界と下界の差が段階 $n$ が増加するにつれて指数関数的に減少することを証明し、100桁以上の精度での数値評価を可能にする。
• 漸近的解析および誤差伝播推定（例：$\epsilon_5(m)$ を用いて）を用いて収束速度を評価し、高精度な結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 v(n) が奇数の場合、1つの外縁頂点が空席となる2次元シエルピンスキー・ギャッベ $SG_2(n)$ におけるダイマー被覆の正確な数は何か？
• RQ2 d=2,3,4,5 の場合の $SG_d(n)$ におけるダイマー被覆のサイトあたりのエントロピー $S_{SG_d}$ は何か？また、正則格子との比較ではどうなるか？
• RQ3 d=3,4,5 の場合に、$S_{SG_d}$ に対して厳密な上界と下界を導出し、エントロピーを100桁以上で計算可能にすることができるか？
• RQ4 一般化されたシエルピンスキー・ギャッベ $SG_{2,b}(n)$ におけるパrameter $b$ の変化に伴い、エントロピー $S_{SG_{2,b}}$ はどのように変化するか？
• RQ5 フラクタルなシエルピンスキー・ギャッベにおけるダイマー被覆のエントロピーは、正則な $d$ 次元超立方格子 $\mathcal{L}_d$ におけるエントロピーと比べてどうなるか？

主な発見

• 2次元シエルピンスキー・ギャッベ $SG_2(n)$ のエントロピーは正確に $S_{SG_2} = \ln(2)/3 \approx 0.2310490602$ である。
• 一般化された2次元シエルピンスキー・ギャッベ $SG_{2,b}(n)$ では、b=3 の場合 $\ln(6)/7 \approx 0.2559656385$、b=4 の場合 $\ln(28)/12 \approx 0.2776837092$、b=5 の場合 $\ln(200)/18 \approx 0.2943509648$ となる。
• 5次元シエルピンスキー・ギャッベ $SG_5(n)$ のエントロピーは、100桁以上の精度で $S_{SG_5} = 0.67042810305\ldots$ と数値的に評価された。
• d=3,4,5 の場合の $S_{SG_d}$ の上界と下界は、段階 $n$ が増加するにつれて急速に収束し、高精度な数値評価が可能である。
• エントロピー $S_{SG_d}$ は次元 $d$ と共に増加し、d=2 の場合、$SG_{2,b}(n)$ のパラメータ $b$ が増加するにつれてわずかに増加する。
• d=2,3 の場合の $S_{SG_d}/S_{\mathcal{L}_d}$ の比は1未満であり、$d$ が増加するにつれて、シエルピンスキー・ギャッベのエントロピーが超立方格子のエントロピーに下からの近づき方を示している。