[論文レビュー] Diophantine approximations for translation surfaces and planar resonant sets

Luca Marchese, Rodrigo Treviño+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、変換表面の方向集合のハウスドルフ次元について、有界または無限大への発散を示すテイヒミュラー測地線を生成する方向に対して鋭い上限を得ており、有理ビリヤードにおける高速再帰を示す方向の次元を計算している。平面上の共鳴集合（接続点と閉じた測地線の方向）を長さでフィルタリングし、それらの集合におけるディオファントス近似に対して二分岐を示し、次元推定に必要な条件を満たすメトリック性質を示している。主な貢献は、古典的なジャルニクとベシコビッチの結果を一般化する、変換表面における動的ディオファントス近似理論の構築である。

ABSTRACT

We consider Teichmüller geodesics in strata of translation surfaces. We prove lower and upper bounds for the Hausdorff dimension of the set of parameters generating a geodesic bounded in some compact part of the stratum. Then we compute the dimension of those parameters generating geodesics that make excursions to infinity at a prescribed rate. Finally we compute the dimension of the set of directions in a rational billiard having fast recurrence, which corresponds to a dynamical version of a classical result of Jarník and Besicovich. Our main tool are planar resonant sets arising from a given translation surface, that is the countable set of directions of its saddle connections or of its closed geodesics, filtered according to length. In an abstract setting, and assuming specific metric properties on a general planar resonant set, we prove a dichotomy for the Hausdorff measure of the set of directions which are well approximable by directions in the resonant set, and we give an estimate on the dimension of the set of badly approximable directions. Then we prove that the resonant sets arising from a translation surface satisfy the required metric properties.

研究の動機と目的

• モジュリ空間において有界テイヒミュラー測地線を生成する方向のハウスドルフ次元を特徴づける。
• 所定の速度で無限大へ発散する測地線を生成する方向の次元を計算する。
• 有理ビリヤードにおける高速再帰を示す方向の次元を特定し、動的再帰とディオファントス近似を結びつける。
• 変換表面から生じる平面上の共鳴集合におけるディオファントス近似の一般枠組みを確立する。
• 共鳴集合が、メトリックディオファントス近似の道具の適用に必要な条件（例：普遍性、減少性、等方的二次成長）を満たしていることを証明する。

提案手法

• 変換表面における接続点および閉じた測地線の方向の可算集合として、長さでフィルタリングされた平面上の共鳴集合を導入する。
• 共鳴集合のメトリック的仮定の下で、共鳴方向によりよく近似可能な方向の集合のハウスドルフ測度に関する一般的二分岐を証明する。
• 変換表面の共鳴集合が、(1)普遍性、(2)減少性、(3)円筒に対して等方的二次成長、(4)ディリクレ性のキーメトリック性質を満たしていることを確立する。
• ホロノミー・ベクトルに関連する線形形式の(2,1)-良さを用いて、近似集合の測度推定を得る。
• カントール集合における普遍性理論および質量分布を用いて、悪い近似方向のハウスドルフ次元の上界を求める。
• テイヒミュラー・フローの力学およびSL(2,R)のモジュリ空間への作用を活用し、幾何的挙動（有界性、発散）をディオファントス近似の性質に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストラトにおいて、有界テイヒミュラー測地線を生成する方向の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 無限大への発散のどの速度で、無限大への発散を示すテイヒミュラー測地線が現れるのか？ そのパrameter集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 有理ビリヤードにおける高速再帰を示す方向のハウスドルフ次元は何か？ そしてそれはディオファントス近似とどのように関係するか？
• RQ4 変換表面の共鳴集合（接続点および閉じた測地線）は、キチン＝ジャルニク型定理に必要なメトリック条件を満たしているか？
• RQ5 平面上の共鳴集合におけるディオファントス近似理論を、テイヒミュラー力学における動的集合の次元結果を導くために応用できるか？

主な発見

• ストラトにおいて有界テイヒミュラー測地線を生成する方向の集合のハウスドルフ次元は1未満であり、表面に応じた明示的な上界と下界が与えられている。
• 所定の発散速度に対して、その速度で発散する測地線を生成する方向の集合は、収束または発散する級数条件に従い、ハウスドルフ測度が0または完全に等しい。これはキチン＝ジャルニク定理の一般化である。
• 共鳴集合における悪い近似方向の次元は1/2未満に上界がある。この上界は与えられたメトリック仮定のもとで鋭い。
• 変換表面の共鳴集合は、メトリックディオファントス近似に必要な普遍性および減少性条件を満たしており、円筒に対しては等方的二次成長が成り立つ。
• ヴェーチ表面に対しては、パラメータαがコンパクト区間上で変化する際、表面u−α·Xのシステム長が0から一様に離れている。これは線形形式の(2,1)-良さを用いた測度推定の適用を可能にする。
• 本稿では、接続点方向に対して等方的二次成長が成り立たないことを証明しており、一般に共鳴集合すべてに対してこの仮定が成り立つわけではないが、円筒に対しては成り立つ。これは主な結果を導くのに十分である。