[論文レビュー] Dirac geometry and integration of Poisson homogeneous spaces

Henrique Bursztyn, David Iglesias Ponte+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、主バンドル上のディラック構造のプルバックを用いて、ディラック幾何を用いて、ポアソンリー群のすべてのポアソン同相空間の可積分性を確立する。主な貢献は、同相空間上のディラック構造の可積分性が、それらのプルバックのH-適応的統合に対応することを示す一般定理であり、半単純リー群およびその対称空間、共役類、フラッグ多様体に対する明示的構成を導く。

ABSTRACT

Using tools from Dirac geometry and through an explicit construction, we show that every Poisson homogeneous space of any Poisson Lie group admits an integration to a symplectic groupoid. Our theorem follows from a more general result which relates, for a principal bundle $M o M/H$, integrations of a Dirac structure on $M/H$ to $H$-admissible integrations of its pullback Dirac structure on $M$ by pre-symplectic groupoids. Our construction gives a distinguished class of explicit real or holomorphic pre-symplectic and symplectic groupoids over semi-simple Lie groups and some of their homogeneous spaces, including their symmetric spaces, conjugacy classes, and flag varieties. In a more general framework, we also show integrability of all homogeneous spaces of ${\mathcal{LA}}^\vee$-Lie groups in the sense of E. Meinrenken.

研究の動機と目的

• ポアソンリー群のポアソン同相空間の可積分性に関する長年の未解決問題を解決すること。
• ディラック幾何と主バンドル構造を用いて、既存の可積分性結果を一般化すること。
• 特に半単純リー群に対して、ポアソン同相空間を統合する明示的なシンプレクティック群多様体を構成すること。
• 複素解析的および実設定への枠組みの拡張を図り、対称空間やフラッグ多様体を含むこと。
• 商空間上のディラック構造の統合と、全空間上でのプルバックのH-適応的統合との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 主バンドル M → M/H を介して、同相空間 G/H 上のディラック構造の可積分性が、全空間 M 上のプルバックの H-適応的統合に帰着されることを、ディラック幾何を用いて関係づける。
• 特に H-リー代数的対および H-リー群多様体対に注目することで、リー代数的およびリー群多様体的条件の関係を確立する。
• 群多様体上での乗法的前シンプレクティック形式およびシンプレクティック形式の概念を用い、ドリンフェルト双対とドレッシング作用から導かれる明示的式を適用する。
• 群多様体の乗法的構造と整合するように、群多様体 1-コサイクル cω が c′ω(a) = dμω(a) を満たすように構成する。
• ポアソンリー群のリー代数の双対と右不変ベクトル場を用いて、群多様体 G(L) 上の前シンプレクティック形式 ω に対する明示的公式を導出する。
• リー代数的の源-単連結統合を用いることで、シンプレクティック群多様体の一意性と構成可能性を保証し、ディラック構造を介して構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のポアソンリー群のポアソン同相空間は、シンプレクティック群多様体に統合可能か？
• RQ2 同相空間上のディラック構造の可積分性は、主バンドル上のプルバックの可積分性とどのように関係するか？
• RQ3 半単純リー群およびその同相空間に対して、どのような明示的シンプレクティック群多様体を構成できるか？
• RQ4 群多様体上の乗法的前シンプレクティック形式は、対応するリー代数的コサイクルおよびモーメント写像とどのように関係するか？
• RQ5 ドリンフェルト双対とドレッシング作用は、これらの統合構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のポアソンリー群のポアソン同相空間は、シンプレクティック群多様体に統合可能であり、ポアソン幾何における中心的未解決問題を解決する。
• 本構成により、実および複素半単純リー群、特に対称空間、共役類、フラッグ多様体を含む、明示的なシンプレクティック群多様体が得られる。
• 群多様体 G(L) 上の前シンプレクティック形式 ω は、リー代数の双対と右不変ベクトル場を用いた明示的公式で与えられ、ドリンフェルト双対の構造と一致する。
• 群多様体 1-コサイクル cω は c′ω(u+ξ) = −dξˡ を満たし、乗法的シンプレクティック構造と整合する。
• 本手法により、G/H 上のディラック構造の可積分性と、全空間 M 上でのプルバックの H-適応的統合との間の一般的同値関係が確立され、LA∨-リー群へも拡張可能である。
• リー代数的の源-単連結統合により、シンプレクティック群多様体は同型を除き一意に定まり、実および複素解析的設定の両方で有効である。