[論文レビュー] Directed Width Measures and Monotonicity of Directed Graph Searching

Łukasz Kaiser, Stephan Kreutzer+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、泥棒と警察のゲームを分析することで、有向グラフの幅測度の包括的な階層を確立し、有界なケリー幅が有界なDAG幅を意味することを証明するとともに、有向木幅ゲームにおける警察の単調性コストが有界でないことを示し、有向グラフ構造理論における長年の未解決問題を解消した。

ABSTRACT

We consider generalisations of tree width to directed graphs, that attracted much attention in the last fifteen years. About their relative strength with respect to "bounded width in one measure implies bounded width in the other" many problems remain unsolved. Only some results separating directed width measures are known. We give an almost complete picture of this relation. For this, we consider the cops and robber games characterising DAG-width and directed tree width (up to a constant factor). For DAG-width games, it is an open question whether the robber-monotonicity cost (the difference between the minimal numbers of cops capturing the robber in the general and in the monotone case) can be bounded by any function. Examples show that this function (if it exists) is at least $f(k) > 4k/3$ (Kreutzer, Ordyniak 2008). We approach a solution by defining weak monotonicity and showing that if $k$ cops win weakly monotonically, then $O(k^2)$ cops win monotonically. It follows that bounded Kelly-width implies bounded DAG-width, which has been open since the definition of Kelly-width by Hunter and Kreutzer in 2008. For directed tree width games we show that, unexpectedly, the cop-monotonicity cost (no cop revisits any vertex) is not bounded by any function. This separates directed tree width from D-width defined by Safari in 2005, refuting his conjecture.

研究の動機と目的

• DAG幅、ケリー幅、D幅、有向木幅などの有向幅測度の相対的な強さを明確化すること。
• 有界なケリー幅が有界なDAG幅を意味するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 特に一般戦略と単調戦略の間のギャップに注目して、有向グラフ探索ゲームにおける単調性コストを調査すること。
• 有向木幅がD幅よりも厳密に弱いかどうかを特定し、文献における予想を反証すること。
• さまざまな有向幅パラメータ間の関係をほぼ完全に明らかにすること。

提案手法

• DAG幅と有向木幅の泥棒と警察のゲームを分析し、単調性の性質に焦点を当てる。
• 弱単調戦略と強単調戦略の間のギャップを埋めるための弱単調性の概念を導入する。
• k人の警察が弱単調的に勝てるならば、O(k²)人の警察が単調的に勝てる、という結果を証明し、2次関数的な上界を確立する。
• 木分解と方向付き木分解の技術を用いて幅測度の関係を関連づけ、不等式を証明する。
• 辺の方向付けと木分解における経路カバーを用いた背理法により、不可能性の結果を証明する。
• 既知の有向木幅とD幅に関する結果を活用して、それらの相対的な強さと分離可能性を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界なケリー幅は有界なDAG幅を意味するか？
• RQ2 有向木幅ゲームにおける警察の単調性コスト（単調戦略と非単調戦略で必要な警察の数の差）は有界か？
• RQ3 D幅は有向木幅よりも厳密に強いのか、それとも同等か？
• RQ4 DAG幅ゲームにおける単調性コストは、ある関数によって有界にできるか？
• RQ5 ケリー幅とDAG幅の正確な関係は何か？

主な発見

• 有界なケリー幅が有界なDAG幅を意味することを証明し、ケリー幅の定義以降長年未解決であった問題を解消した。
• 有向木幅ゲームにおける警察の単調性コストが無限大であることを証明し、有向木幅がD幅よりも厳密に弱いかどうかを示した。
• DAG幅ゲームにおいて、k人の警察が弱単調的に勝てるならば、O(k²)人の警察が単調的に勝てる、という2次関数的な上界を確立した。
• 論文は[Saf05]におけるD幅と有向木幅が同等であるという予想を反証し、それらが分離可能であることを示した。
• 多くの場合に厳密な不等号を伴う、有向幅測度のほぼ完全な階層が確立された。
• 結果から、有向木幅が研究された幅パラメータの中で最も一般なものであることが示され、DAG幅とケリー幅はそれより下位にある。