[論文レビュー] Discovering Asymptotic Expansions Using Symbolic Regression

Rasul Abdusalamov, Julius Kaplunov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Neural Networks and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正確な解を用いて学習データを生成することで、力学的系における漸近展開を発見するための記号的回帰（SR）手法を提案する。SRが2質量衝突、ケルビン＝ヴォイト粘弾性体、レイリー＝ラーム波といった問題に対して収束型および発散型の漸近級数を正確に回復できることを示し、解析的ベンチマークと高い一致を示すとともに、実験的または数値的データからポアソン比などの材料パラメータを同定する可能性を示している。

ABSTRACT

Recently, symbolic regression (SR) has demonstrated its efficiency for discovering basic governing relations in physical systems. A major impact can be potentially achieved by coupling symbolic regression with asymptotic methodology. The main advantage of asymptotic approach involves the robust approximation to the sought for solution bringing a clear idea of the effect of problem parameters. However, the analytic derivation of the asymptotic series is often highly nontrivial especially, when the exact solution is not available. In this paper, we adapt SR methodology to discover asymptotic series. As an illustration we consider three problem in mechanics, including two-mass collision, viscoelastic behavior of a Kelvin-Voigt solid and propagation of Rayleigh-Lamb waves. The training data is generated from the explicit exact solutions of these problems. The obtained SR results are compared to the benchmark asymptotic expansions of the above mentioned exact solutions. Both convergent and divergent asymptotic series are considered. A good agreement between SR expansions and analytical results is observed. It is demonstrated that the proposed approach can be used to identify material parameters, e.g. Poisson's ratio, and has high prospects for utilizing experimental and numerical data.

研究の動機と目的

• 解析的導出が複雑な機械的系における漸近展開を発見するための記号的回帰フレームワークの開発。
• 収束型および発散型の両方のタイプを含む既知の漸近級数をSRがどれほど正確に回復できるかの評価。
• 数値的または実験的データから漸近的挙動を抽出するためのSRの実用可能性の提示。
• 波動伝播データからポアソン比などの材料パラメータを同定するSRの応用の探求。

提案手法

• 2質量衝突、ケルビン＝ヴォイト粘弾性モデル、レイリー＝ラーム波動の3つの機械的問題の正確な解析解から学習データを生成する。
• 定められた数学的関数および演算の集合上で遺伝的プログラミングを用いた探索を実行し、閉形式の式を発見する記号的回帰を適用する。
• 適合度指標を用いて、SRが導出した展開がベンチマークとしての漸近級数とどの程度一致するかを評価する。
• スケーリング則や物理的パラメータ（例：δ, η, θ）を入力として組み込み、漸近的に有効な関数形の探索を支援する。
• 収束型および発散型の漸近挙動をカバーするため、小パラメータ（δ ≪ 1）および大パラメータ（δ ≫ 1）の両方の領域で手法をテストする。
• 対数項や多項式項を含む既知の解析的漸近級数との比較によって結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な解が得られる機械的系において、記号的回帰は既知の漸近展開を正確に回復できるか？
• RQ2 異なる物理的領域において、SRは収束型および発散型の両方の漸近級数をどれほど正確に捉えられるか？
• RQ3 波動挙動の漸近的性質から、ポアソン比のような意味のある物理的パラメータをSRが同定できるか？
• RQ4 正確な解が得られない場合、SRは数値シミュレーションまたは実験データにどの程度適用可能か？
• RQ5 複雑な波動問題において、対数項や高次補正項を含む漸近的構造をSRが発見できるか？

主な発見

• 2質量衝突問題において、記号的回帰は解析的結果と非常に良好な一致を示し、最良の近似で適合度が4.876 × 10−13まで低下した。
• ケルビン＝ヴォイト粘弾性モデルでは、δ ≪ 1領域で発散型漸近級数を正確に捉え、適合度が10−5未満に達した。また、δ ≫ 1領域では対数項を同定した。
• レイリー＝ラーム波問題において、K4のSR由来の展開はベンチマーク級数と強く一致し、複数回の試行で適合度が5 × 10−5未満であった。
• 特にδ ≫ 1領域において、ネストされた対数項や高次多項式補正を含む複雑な関数形の同定において、本手法の頑健性が示された。
• SRの結果を用いて、漸近的波動挙動にフィットさせることでポアソン比の推定が可能となり、データからの逆パラメータ同定の可能性を示した。
• 最良のSR近似では適合度が1.17 × 10−16未満に低下し、特定のケースでは解析的漸近展開とほぼ完全に一致していることが示された。