[論文レビュー] Discrepancies of $p$-cyclic quotient varieties

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の特性 $p>0$ の体上の $p$-巡回商多様体における端的、正規、対数正規特異点の明確な基準を確立する。不変量 $D_V$ と新しい関数 $
ackslash mathrm{sht}_V(s)$ を用いて、最小特異度 $
ackslash delta(X)$ の正確な公式を導出し、$X$ が端的（それぞれ正規、対数正規）であるための必要十分条件が $D_V \geq p$（それぞれ $D_V \geq p-1$、$D_V \geq p-2$）であることを証明する。これにより、非コhen＝マカウレー端的特異点の新しい例が得られる。

ABSTRACT

We consider the quotient variety associated to a linear representation of the cyclic group of order p in characteristic p>0. We estimate the minimal discrepancy of exceptional divisors over the singular locus. In particular, we give criteria for the quotient variety being terminal, canonical and log canonical. As an application, we obtain new examples of non-Cohen-Macaulay terminal singularities, adding to examples recently announced by Totaro.

研究の動機と目的

• 正の特性における $p$-巡回商多様体の特異点集合上での例外的除算の最小特異度 $\delta(X)$ を特定すること。
• このような商多様体がいつ端的、正規、対数正規であるかを分類すること。
• 非コhen＝マカウレー端的特異点の新しい例を構成し、Totaro の結果を拡張すること。
• 表現論的不変量 $D_V$ と関数 $
  ackslash mathrm{sht}_V(s)$ を用いた $\delta(X)$ の正確な公式を提示すること。

提案手法

• $D_V = \sum_{\lambda=1}^l \frac{(d_\lambda - 1)d_\lambda}{2}$ を、非可約 $G$-表現 $V_{d_\lambda}$ からの不変量の和として定義する。
• 各 $1 \leq j \leq p-1$ に対して、$\mathrm{sht}_V(j) = \sum_{\lambda=1}^l \sum_{i=1}^{d_\lambda - 1} \left\lfloor \frac{ij}{p} \right\rfloor$ を定義し、分岐データを捉える。
• 弧空間とジェットスキームの技法を用いて特異点集合上のモチーフ的積分を計算し、$j = np + s$ のとき $\nu(M_j) = l + (p-1 - D_V)n + s - \mathrm{sht}_V(s)$ という公式を導出する。
• 変数変換の公式と弧空間の可測分解を用い、$\delta(X)$ を $j \in J$ の範囲における $\nu(M_j)$ の下界と関連付ける。
• 特異度の双対ジャンプ間の関係を表す重要な恒等式 $s - \mathrm{sht}_V(s) = \mathrm{sht}_V(p-s) + s + d - l - D_V$ を導出する。
• $\mathrm{sht}_V(s) \leq \frac{(s-1)D_V}{p}$ を用いて、下界 $\delta(X) \geq \frac{2D_V}{p} - 2$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性 $p > 0$ における $p$-巡回表現 $V$ の商多様体 $X = V/G$ がいつ端的、正規、対数正規であるか？
• RQ2 特異点集合上での最小特異度 $\delta(X)$ の正確な値は何か？
• RQ3 非コhen＝マカウレー端的特異点は正の特性に存在しうるか？ もしそうなら、表現論的条件下ではどのような条件か？
• RQ4 特異度 $\delta(X)$ は $V$ の非可約 $G$-加群への分解にどのように依存するか？
• RQ5 関数 $\mathrm{sht}_V(j)$ は多様体 $X$ の特異点型を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 商多様体 $X = V/G$ は、$D_V \geq p$ であるための必要十分条件として端的であり、$D_V \geq p-1$ であれば正規、$D_V \geq p-2$ であれば対数正規であり、$D_V \geq 2$ を仮定する。
• $D_V < p-1$ のとき、最小特異度 $\delta(X) = -\infty$ となり、$X$ は対数正規でない。
• $D_V \geq p-1$ のとき、最小特異度は $\delta(X) = D_V - 1 - \max_{1 \leq s \leq p-1} \{ \mathrm{sht}_V(p-s) + s \}$ で与えられ、正確な公式が得られる。
• $D_V \geq p$ のとき、下界 $\delta(X) \geq \frac{2D_V}{p} - 2$ が成り立ち、$D_V = p$ のときにはこれが鋭い。
• $D_V \geq p$ のとき、$X$ は正規であり、この下界 $\delta(X) \geq \frac{2D_V}{p} - 2$ は非自明であり、以前の推定値を改善する。
• 本稿では、特性 2 における $V = V_2^\oplus 3$ や特性 5 における $V = V_4$ などの非コhen＝マカウレー端的特異点の新しい例を構成し、Totaro の結果を拡張している。