[論文レビュー] Discrete dynamics in implicit form

David Iglesias, J.C. Marrero+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リー群コアの上での離散的陰伏差分方程式のための幾何的枠組みを導入し、離散ラグランジュ力学および非ホロノミック力学を一般化する。前向きおよび後向きに一貫した解を抽出するための統合性アルゴリズムを定式化し、リー群コア G 上の離散ラグランジュ系が余接群コア T*G 上のラグランジュ的陰伏差分方程式に対応することを証明する。これは、古典的離散力学および幾何的積分法を拡張するものである。

ABSTRACT

A notion of implicit difference equation on a Lie groupoid is introduced and an algorithm for extracting the integrable part (backward or/and forward) is formulated. As an application, we prove that discrete Lagrangian dynamics on a Lie groupoid $G$ may be described in terms of Lagrangian implicit difference equations of the corresponding cotangent groupoid $T^*G$. Other situations include finite difference methods for time-dependent linear differential-algebraic equations and discrete nonholonomic Lagrangian systems, as particular examples.

研究の動機と目的

• リー群コア上での離散的陰伏差分方程式の幾何的理論を構築し、古典的離散力学を一般化すること。
• 陰伏差分系から統合可能（前向きおよび／または後向き）な解を抽出するためのアルゴリズムを定式化すること。
• リー群コア G 上の離散ラグランジュ力学が、余接群コア T*G 上のラグランジュ的陰伏差分方程式に対応することを示すこと。
• 時間に依存する線形微分代数方程式の有限差分法および離散非ホロノミック系を含む枠組みへの拡張を実施すること。
• 連続ラグランジュ系のための幾何的積分法を、離散的陰伏力学を介して構築するための幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿では、G をリー群コアとするとき、D ⊂ G × G として定義される陰伏差分方程式（D は部分多様体）を導入し、接バンドル上での陰伏微分方程式の概念を一般化する。
• 射影と接ライフトに基づく再帰的アルゴリズムを導入する：D^k = D^{k-1} ∩ T C^{k-1}、ここで C^k = τ_G(D^k) であり、τ_G は終点射影を表す。
• 滑らかさの仮定の下で、このアルゴリズムは有限ステップで安定化し、統合可能部分 D̄ = D^k̄ を得る。この部分多様体は一貫した離散的軌道を支える。
• 離散ラグランジュ系に対して、L: G → ℝ から双対リー代数束 AG* への離散ルジャンドル変換 F⁺L と F⁻L を構成する。
• L が正則である場合、離散オイラー＝ラグランジュ方程式が T*(TG) 内のラグランジュ部分多様体を定義することを証明し、Tulczyjew のシンプレクティック的アプローチを離散力学へ拡張する。
• 非ホロノミック系に対しては、制約分布 D_c および制約部分多様体 M_c を組み込み、動的制約空間への制限を施した修正されたルジャンドル写像 F±(L, M_c, D_c) を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群コア上での陰伏差分方程式を、接バンドル上での陰伏微分方程式を一般化する形で幾何的にどのように定式化できるか？
• RQ2 リー群コア上での陰伏差分系から、前向きおよび後向きに一貫した離散的軌道を抽出するためのアルゴリズムは何か？
• RQ3 リー群コア G 上の離散ラグランジュ力学は、余接群コア T*G 上のラグランジュ的陰伏差分方程式とどのように対応するか？
• RQ4 この枠組みは、時間に依存する線形微分代数方程式の有限差分スキームを特別な場合として含めることができるか？
• RQ5 離散非ホロノミック系は、陰伏差分方程式枠組み内でどのように記述され、制約分布および部分多様体は果たす役割は何か？

主な発見

• 滑らかさの仮定の下で、統合性アルゴリズムは有限ステップで安定化し、一意な統合可能部分 D̄ ⊆ D を得る。この部分多様体は一貫した離散的軌道を支える。
• リー群コア G 上の離散ラグランジュ力学は、余接群コア T*G 上のラグランジュ的陰伏差分方程式に対応し、Tulczyjew のシンプレクティック的アプローチを一般化する。
• 正則ラグランジュ関数に対して、離散ルジャンドル変換 F⁺L と F⁻L は局所微分同相写像であり、離散的発展作用素 Υ_L の存在および一意性を保証する。
• ラグランジュ関数が超正則（hyperregular）である場合、離散的発展作用素は globally に Υ_L = (F⁻L)⁻¹ ∘ F⁺L で与えられ、ハミルトニアン的発展は Υ̃_L = F⁺L ∘ (F⁻L)⁻¹ で与えられる。
• 非ホロノミックの場合、離散オイラー＝ラグランジュ方程式は、条件 F⁻(L, M_c, D_c)(h) = F⁺(L, M_c, D_c)(g) と同値であり、制約分布と整合的であることを保証する。
• この枠組みは、時間に依存する線形微分代数方程式の有限差分法を特別な場合として含み、広範な適用可能性を示している。