[論文レビュー] Discrete low-discrepancy sequences

Omer Angel, Alexander E. Holroyd+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2009

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、i.i.d. ランダム過程に類似した離散的低不均一性列を生成する構成的で決定論的なアルゴリズムを提示する。デッドラインに基づく選択ルールを用いることで、経験的頻度と標的確率の差が常に1未満のまま保たれ、先行研究を無限集合および非同一分布列へと拡張する。

ABSTRACT

Holroyd and Propp used Hall's marriage theorem to show that, given a probability distribution pi on a finite set S, there exists an infinite sequence s_1,s_2,... in S such that for all integers k >= 1 and all s in S, the number of i in [1,k] with s_i = s differs from k pi(s) by at most 1. We prove a generalization of this result using a simple explicit algorithm. A special case of this algorithm yields an extension of Holroyd and Propp's result to the case of discrete probability distributions on infinite sets.

研究の動機と目的

• 有限および無限の離散確率分布に対して、低不均一性列の存在を構成的かつアルゴリズム的に証明すること。
• ホロイドとプロップのi.i.d.列における有界な不均一性に関する結果を、非同一分布列の状況へと拡張すること。
• 有限時間における経験的カウントと期待カウントの差が常に1未塔であることを保証する決定論的アルゴリズムの開発。
• 標的分布が有理数である場合に周期的列が生成されることを示し、ローター・ルーター機構と関連付けること。

提案手法

• アルゴリズムは、累積不均一性が-1未満に下がることのないすべての記号の中で、最も早いデッドラインを持つものを次に選ぶ。
• 記号sが候補であるとは、選択した場合に $ D_{k+1}(s) < 1 $ が成り立つこと、ここで $ D_k(s) = N_k(s) - P_k(s) $ である。
• 候補記号sのデッドラインは、$ D_{k'}(s) \neq 0 $ となる最小の $ k' \neq k+1 $ である。これにより、過小サンプリングが回避される。
• アルゴリズムは累積期待カウント $ P_k(s) = \bigsum_{i=1}^k \nu_i(s) $ を用い、選択を導くために不均一性 $ D_k(s) $ を追跡する。
• デッドラインの同値は任意に解消可能であるが、有理数分布の場合は周期性を保証するために決定論的に設定可能である。
• この方法は、将来の分布 $ \nu_i $ の知識を内蔵しており、局所的決定が不均一性の境界を維持できない反例によって示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非i.i.d.離散分布に対して、不均一性が1未塔である決定論的で構成的なアルゴリズムが、列を生成可能か？
• RQ2 i.i.d.列における低不均一性性質を、可算集合上での時間変動する分布を持つ列へと拡張可能か？
• RQ3 過去の分布にのみ依存する決定論的アルゴリズムが達成可能な最小の不均一性は何か？
• RQ4 どのような条件下でアルゴリズムは周期的列を生成し、これは有理確率測度とどのように関連するか？
• RQ5 不均一性はカウントの観点だけでなく、選択要素間の間隔に対しても制御可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、すべての $ k \to \text{infty} $ およびすべての $ s \to \text{in } \text{supp}(\nu) $ に対して、$ |N_k(s) - P_k(s)| < 1 $ が成り立つことが保証される。ここで $ N_k(s) $ はカウント、$ P_k(s) $ は期待カウントである。
• アルゴリズムは構成的かつ決定論的であり、確率的存在証明に依存せず、実用的な低不均一性列の生成法を提供する。
• 有理数分布の場合、アルゴリズムは分母の最小公倍数に等しい周期の周期的列を生成する。
• 不均一性の境界は最適であり、一般に $ |N_k(s) - P_k(s)| < 1 $ を $ \text{const} < 1 $ に改善することは不可能であることが反例によって示されている。
• アルゴリズムは将来の分布の知識を必要とし、これは避けられない。反例（$ \nu_k $ が $ k=1,2,3 $ で $ \big{1,\text{...},5\big} $ 上一様）によって示されている。
• 結果はホロイドとプロップの定理を無限集合および非i.i.i.d.列へ一般化し、定理2は定理1を厳密に一般化する。