[論文レビュー] Discrete Midpoint Convexity

Satoko Moriguchi, Kazuo Murota+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、L^{ atural}-凸性および整数凸性を統一的に扱う枠組みとして、局所的および全域的離散中点凸関数を導入する。ℓ∞-距離が2以上であるペアに対して離散中点凸性を課すことにより、平行四辺形不等式、スケーリングおよび加法に関する安定性、および小さな有界値を伴う近接定理といった構造的性質を確立し、最小化のための新規な近接スケーリングアルゴリズムの構築を可能にする。

ABSTRACT

For a function defined on a convex set in a Euclidean space, midpoint convexity is the property requiring that the value of the function at the midpoint of any line segment is not greater than the average of its values at the endpoints of the line segment. Midpoint convexity is a well-known characterization of ordinary convexity under very mild assumptions. For a function defined on the integer lattice, we consider the analogous notion of discrete midpoint convexity, a discrete version of midpoint convexity where the value of the function at the (possibly noninteger) midpoint is replaced by the average of the function values at the integer round-up and round-down of the midpoint. It is known that discrete midpoint convexity on all line segments with integer endpoints characterizes L$^{ atural}$-convexity, and that it characterizes submodularity if we restrict the endpoints of the line segments to be at $\ell_\infty$-distance one. By considering discrete midpoint convexity for all pairs at $\ell_\infty$-distance equal to two or not smaller than two, we identify new classes of discrete convex functions, called local and global discrete midpoint convex functions, which are strictly between the classes of L$^{ atural}$-convex and integrally convex functions, and are shown to be stable under scaling and addition. Furthermore, a proximity theorem, with the same small proximity bound as that for L$^{ atural}$-convex functions, is established for discrete midpoint convex functions. Relevant examples of classes of local and global discrete midpoint convex functions are provided.

研究の動機と目的

• L^{ atural}-凸性、整数凸性、および下位モジュラリティといった既知の離散凸関数のクラスを、離散中点凸性の共通枠組みで統一すること。
• ℓ∞-距離制約に基づき、局所的および全域的離散中点凸関数という新しい関数クラスを定義し、それらを分析すること。
• これらの新規関数クラスに共通する構造的性質（例：平行四辺形不等式、スケーリングおよび加法に関する安定性）を確立すること。
• L^{ atural}-凸関数と同様に小さな近接有界値を伴う近接定理を証明し、効率的な最小化を可能にすること。
• 近接定理と新規の2近傍勾配降下法を組み合わせた近接スケーリングアルゴリズムを、局所的および全域的離散中点凸関数の最小化に向け開発すること。

提案手法

• 整数格子 ℤⁿ 上の任意の x, y に対して、f(x) + f(y) ≥ f(⌈(x+y)/2⌉) + f(⌊(x+y)/2⌋) を満たす不等式により、離散中点凸性を定義する。
• ℓ∞-距離がちょうど2であるペアまたは2以上であるペアに対して不等式を満たすものとして、局所的および全域的離散中点凸関数という2つの新規クラスを導入する。
• これらのクラスが加法およびスケーリングに関して安定しており、平行四辺形不等式の族を満たすことを確立する。
• これらのクラスが包含関係において L^{ atural}-凸関数と整数凸関数の間で真に中間に位置することを証明する。
• 近接定理と新規の2近傍勾配降下法を基盤とする近接スケーリングアルゴリズムを構築する。
• 整数近傍における最小最大化最適化による凸包表現を用いて、弱い離散中点凸性を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数格子 ℤⁿ 上の既知の離散凸関数クラス（L^{ atural}-凸性、整数凸性など）を統一的に扱う枠組みとして、離散中点凸性を用いることは可能か？
• RQ2 局所的および全域的離散中点凸関数はどのような構造的性質を有するのか。L^{ atural}-凸関数および整数凸関数と比較してどう異なるか？
• RQ3 これらの新規クラスは、L^{ atural}-凸関数と同様に小さな近接有界値を伴う近接定理を満たすか？
• RQ4 近接スケーリングと近傍降下法を組み合わせた最小化アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 有効定義域が整数凸であると仮定しない場合、凸包表現との不等式を満たす弱い離散中点凸性は整数凸性と同値であるか？

主な発見

• 局所的および全域的離散中点凸関数は、L^{ atural}-凸関数に既知のものとは一般化された平行四辺形不等式の族を満たす。
• これらの関数は加法およびスケーリングに関して安定であり、L^{ atural}-凸関数が持つ重要な代数的性質を保つ。
• L^{ atural}-凸関数と同様に小さな近接有界値を伴う近接定理が成り立ち、効率的な最小化が可能になる。
• 局所的および全域的離散中点凸関数のクラスは、包含関係において L^{ atural}-凸関数と整数凸関数の間で真に中間に位置する。
• 近接定理を活用し、2近傍勾配降下法を用いた近接スケーリングアルゴリズムを新規に開発した。
• 有効定義域が整数凸であると仮定しない場合でも、凸包との不等式を満たす弱い離散中点凸性は整数凸性と同値である。