[論文レビュー] Discrete phase space and minimum-uncertainty states

William K. Wootters, Daniel M. Sussman|ArXiv.org|Apr 10, 2007

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、n-キュービット系における離散位相空間における回転対称性の概念を、𝔽₂ⁿ 上の有限体によるWigner関数を用いて導入する。回転対称性を持つ状態が、すべての相互に unbiased な基底においてRényiエントロピーを最小化することを示し、情報理論的意味で最小不確実性状態であることを確立する。単一および3キュービット系における明示的な例から、中心でのWigner関数値が最大であることが示されている。

ABSTRACT

The quantum state of a system of qubits can be represented by a Wigner function on a discrete phase space, each axis of the phase space taking values in a finite field. Within this framework, we show that one can make sense of the notion of a "rotationally invariant state" of any collection of qubits, and that any such state is, in a well defined sense, a state of minimum uncertainty.

研究の動機と目的

• n-キュービット系における離散位相空間における回転対称性を持つ量子状態の定義と特徴付けを行う。
• 従来の位置-運動量不確実性が適用されない離散位相空間において、最小不確実性の明確な定式化を確立する。
• すべての相互に unbiased な基底においてRényiエントロピーを最小化する状態を特定し、それらをコherent状態の類似物とみなす。
• 特に量子暗号などの量子情報文脈におけるこのような状態の物理的意味を検討する。
• 「最も点的な」状態（中心におけるWigner関数値が最大であるもの）が存在するかどうかを特定する。

提案手法

• 2ⁿ × 2ⁿ の位相空間上に、有限体 𝔽₂ⁿ を用いて離散Wigner関数を構築し、平行移動不変性を用いて純粋状態を直線に割り当てる。
• 𝔽₂ⁿ 上の線形変換（回転）に関連するユニタリ演算子を用いて対称性を定義し、回転対称性を持つ状態を同定する。
• Rényiエントロピーの2次（order 2）を用いて、位置と運動量に限らないすべての測定方向（相互に unbiased な基底）における不確実性を定量化する。
• 平行な直線に割り当てられた状態が直交すること、および異なるストライレーション（基底）が互いに unbiased であることを保証する制約を課し、d=2ⁿ のとき d+1 個の基底が得られることを示す。
• 平均Rényiエントロピーが、すべてのd+1個の相互に unbiased 測定においてエントロピーが一定である場合に最小化されることを示す不等式を導出する。
• 𝔽₈ の原始元と位相空間の円を保存する回転行列を用いて、1キュービットおよび3キュービット系の明示的構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-キュービット系における離散位相空間に意味的な回転対称性を定義できるか？
• RQ2 回転対称性を持つ状態は、明確な情報理論的意味で不確実性を最小化するか？
• RQ3 回転対称性を持つ状態の中で、位相空間において「最も点的な」性質を持つ一意的または特徴的な状態が存在するか？
• RQ4 1キュービットや3キュービットのような小さな系において、このような最小不確実性状態を明示的に構成できるか？
• RQ5 離散位相空間において、Wigner関数の正定値性と最小不確実性性質の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 任意の数のキュービットについて、回転対称性を持つ状態が存在し、それらはすべてのd+1個の相互に unbiased 基底における平均Rényiエントロピーを最小化するという特徴を持つ。
• 1キュービットの場合、2つの回転対称性を持つ状態は、X+Y+Zの固有状態であり、X, Y, Zの測定において平均Rényiエントロピーを最小化する。
• 3キュービットの場合、8つの回転対称性を持つ状態のうち1つはWigner関数が正であり、中心における最大値0.319を達成する。
• この中心値0.319は、任意の3キュービット状態で達成可能な最大値であり、『最も点的な』挙動を示している。
• |ψ⟩ = √(1/3)|+++⟩ + √(2/3)|---⟩ は、原点でWigner関数が最大となる回転対称性を持つ状態として明示的に構成されている。
• すべての回転対称性を持つ状態が、従来の調和振動子の意味でのcoherent状態ではないにせよ、Rényiエントロピーの意味で不確実性を最小化することが示された。