[論文レビュー] Discrete Quantum Gravity

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、因果集合を用いた離散的量子重力のための量子逐次成長過程を提案する。時空は有限の偏順序集合（poset）上でマルコフ過程として段階的に発展する。古典的力学をヒルベルト空間の構成とデコherence関数型を用いて量子化することで、部分集合の二次代数上に一貫性のある量子測度が得られ、ユニタリな時間発展と観測量の量子化を備えた量子重力の候補枠組みを確立する。

ABSTRACT

We discuss the causal set approach to discrete quantum gravity. We begin by describing a classical sequential growth process in which the universe grows one element at a time in discrete steps. At each step the process has the form of a causal set and the "completed" universe is given by a path through a discretely growing chain of causal sets. We then introduce a method for quantizing this classical formalism to obtain a quantum sequential growth process which may lead to a viable model for a discrete quantum gravity. We also give a method for quantizing random variables in the classical process to obtain observables in the corresponding quantum process. The paper closes by showing that a discrete isometric process can be employed to construct a quantum sequential growth process.

研究の動機と目的

• 因果集合のアプローチに基づく離散的量子重力のための量子形式主義を開発すること。
• ヒルベルト空間とデコherence関数型を用いて、古典的逐次成長過程を量子枠組みに一般化すること。
• 経路の部分集合の二次代数上に、量子確率と整合するように一貫性のある量子測度を構築すること。
• 古典的確率変数を量子観測量へと変換する方法を定義し、量子期待値を可能にすること。
• 離散的等長変換が一貫性のある量子逐次成長過程を生成できることを示すこと。

提案手法

• 宇宙を、各段階で最大元を一つ追加する有限因果集合の鎖を通る経路としてモデル化する。
• Rideout-Sorkinの形式を用い、結合定数 t_k を用いて因果集合間の遷移確率を定義する。
• Ω をすべての経路の集合とし、ν_t を遷移確率に従う測度とする、古典確率空間 (Ω, A, ν_t) を構築する。
• 古典的枠組みを量子化するため、ヒルベルト空間 H = L²(Ω, A, ν_t) を構成し、古典的振幅からユニタリ変換により量子状態 ρ_n を定義する。
• デコherence関数型 D_n(A,B) = tr(|χ_B⟩⟨χ_A|ρ_n) を導入し、一貫性を保証するとともに、量子測度論を可能にする。
• ユニタリ演算子を用いて古典的状態を量子状態に変換し、ρ_n がヒルベルト空間上の一貫性のある密度演算子の系列を保つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果集合上の古典的逐次成長過程を一貫的に量子化することで、離散的量子重力のための妥当なモデルを得られるか？
• RQ2 適切な部分集合の代数上に、古典的確率を一般化しつつ一貫性を保つ量子測度をどのように構築できるか？
• RQ3 等長変換は、一貫性のある量子逐次成長ダイナミクスを生成する役割を果たすか？
• RQ4 この枠組みにおいて、古典的確率変数をどのように量子観測量へと拡張できるか？
• RQ5 得られた量子形式主義は、適切な極限において一般相対性理論に還元されるか？

主な発見

• 量子状態の系列 ρ_n は、すべての A,B ∈ A_n に対して D_n(A×P_{n+1}, B×P_{n+1}) = D_n(A,B) を満たす一貫性のある量子逐次成長過程を形成する。
• デコherence関数型 D_n(A,B) は明示的に D_n(A,B) = tr(|χ_B⟩⟨χ_A|ρ_n) として構成され、Ω の部分集合の二次代数 S 上の量子測度を提供する。
• 量子測度 μ は S 上に定義され、S はシリンダ集合と全 σ-代数 A の間の真に非自明な構造を保証する。
• 古典的確率変数 a(ω) は写像 a(ω) → â を通じて量子化され、正規化された状態では量子積分が ∫f dμ = ∑_ω |a(ω)|² として定義される。
• 量子状態 ρ_n は L²(Ω, A, ν_t) 上の密度演算子とユニタリ同値であり、時間ステップにわたって正規化と一貫性が保たれる。
• 離散的等長変換が一貫性のある量子逐次成長過程を生成できることを示し、本枠組みを量子力学における経路積分のアプローチと関連づけた。