[論文レビュー] Discrete-Time Statistical Inference for Multiscale Diffusions in the Averaging and Homogenization Regime

Siragan Gailus, Konstantinos Spiliopoulos|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、遅い成分の単一観測パスに基づき、マルチスケール拡散過程に対する統計的推論手法を開発する。遅い過程の2次テイラー近似に基づく最小対照推定法（MCEおよびSMCE）を提案し、平均化および均質化の両状態において、一貫性、漸近正規性、および効率性をMCEについて確立する。時間スケール分離の制約下でも、高周波観測下においても成立する。

ABSTRACT

We study statistical inference for small-noise-perturbed multiscale dynamical systems under the assumption that we observe a single time series from the slow process only. We construct estimators for both averaging and homogenization regimes, based on an appropriate misspecified model motivated by a second-order stochastic Taylor expansion of the slow process with respect to a function of the time-scale separation parameter. In the case of a fixed number of observations, we establish consistency, asymptotic normality, and asymptotic statistical efficiency of a minimum contrast estimator (MCE), the limiting variance having been identified explicitly; we furthermore establish consistency and asymptotic normality of a simplified minimum constrast estimator (SMCE), which is however not in general efficient. These results are then extended to the case of high-frequency observations under a condition restricting the rate at which the number of observations may grow vis-a-vis the separation of scales. Numerical simulations illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 遅い成分のみが観測可能な状況におけるマルチスケール拡散過程の統計的推論手法の開発を目的とする。
• 微小なノイズと複数の時間スケールが存在する状況におけるパラメータ推定の課題に取り組む。
• 平均化および均質化の両状態で一貫性と漸近的効率性を示す推定法の構築を目的とする。
• 時間スケール分離に対する観測回数の増加率が制御される条件下で、高周波観測設定への理論的結果の拡張を目的とする。
• 数値シミュレーションを通じて理論的結果の妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• 時間スケール分離パラメータに関する遅い過程の2次確率的テイラー展開を用いて、不適合モデルを導出する。
• 不適合モデルの近似尤度に基づき、最小対照推定法（MCE）を構築する。
• 計算コストを低減した簡略化された最小対照推定法（SMCE）を導入し、計算複雑性を軽減する。
• 固定観測および高周波観測の両状態において漸近的性質を導出し、観測回数の増加率が時間スケール分離に依存する条件を設定する。
• MCEの極限分散を明示的に特定し、統計的効率性の評価を可能にする。
• 推定法の理論的性質を検証するため、数値シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅い成分のみが観測可能な状況において、一貫性と効率性を有するパラメータ推定法を構築できるか？
• RQ2 MCEおよびSMCEの漸近的性質は、時間スケール分離および観測周波数にどのように依存するか？
• RQ3 MCEの極限分散は何か？ また、平均化および均質化の両状態で統計的効率性を達成するか？
• RQ4 時間スケール分離の下で、高周波観測の増加率は、推定法の漸近正規性にどのように影響するか？
• RQ5 遅い過程の2次テイラー近似は、微小なノイズが存在する状況でも、正確な推論を可能にするか？

主な発見

• 最小対照推定法（MCE）は、平均化および均質化の両状態で一貫性と漸近正規性を有する。
• MCEは漸近的統計的効率性を達成しており、その極限分散が明示的に特定されている。
• 簡略化された最小対照推定法（SMCE）は一貫性と漸近正規性を有するが、一般には効率的ではない。
• 時間スケール分離に制御された増加率で観測回数が増加する限り、両推定法の漸近正規性が確立される。
• 理論的結果は、推定法の有限サンプル性能を示す数値シミュレーションにより検証された。
• 2次確率的テイラー展開は、微小なノイズを伴うマルチスケール拡散過程における推論の有効な近似フレームワークを提供する。