[論文レビュー] Discreteness and Determinism in Superstrings

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、1+1次元のワールドーシート格子上に配置された離散的・古典的なビットをジョルダン＝ウィグナー変換を用いて量子化されたD次元スーパーヒモ状態に写像することにより、スーパーヒモ理論の決定的セルラー・オートマトン（CA）フレームワークを提案する。主な結果は、ローレンツ不変性と超対称性を保ちつつ、完全に決定的かつ離散的なスーパーヒモの定式化を達成したことである。これは、基礎的な古典的力学に根ざした、量子力学の新しい「CA解釈」を提供する。

ABSTRACT

Ideas presented in two earlier papers are applied to string theory. It had been found that a deterministic cellular automaton in one space- and one time dimension can be mapped onto a bosonic quantum field theory on a 1+1 dimensional lattice. We now also show that a cellular automaton in 1+1 dimensions that processes only ones and zeros, can be mapped onto a fermionic quantum field theory in a similar way. The natural system to apply all of this to is superstring theory, and we find that all classical states of a classical, deterministic string propagating in a rectangular, D dimensional space-time lattice, with some boolean variables on it, can be mapped onto the elements of a specially chosen basis for a (quantized) D dimensional superstring. This string is moderated ("regularized") by a 1+1 dimensional lattice on its world sheet, which may subsequently be sent to the continuum limit. The space-time lattice in target space is not sent to the continuum, while this does not seem to reduce its physically desirable features, including Lorentz invariance. We claim that our observations add a new twist to discussions concerning the interpretation of quantum mechanics, which we call the cellular automaton (CA) interpretation. Detailed discussions of this interpretation, and in particular its relation to the Bell inequalities, are now included.

研究の動機と目的

• 内在的な不確実性を仮定せずに、量子力学的振る舞いを再現する決定的かつ離散的なスーパーヒモ理論のセルラー・オートマトンモデルの構築を目的とする。
• 1+1次元ワールドーシート格子上に配置された古典的ブール変数をジョルダン＝ウィグナー変換を用いて、量子化されたD次元スーパーヒモ状態の基底に写像することを目的とする。
• 連続的極限においてもローレンツ不変性と超対称性を保ちつつ、ターゲット時空格子を離散的としたままにすることを目的とする。
• 量子力学の標準的見解である量子不確実性を疑問視し、ベルの不等式に対処する新しい解釈「セルラー・オートマトン解釈」を提供することを目的とする。

提案手法

• 1+1次元の離散的ワールドーシート格子を用いてヒモのダイナミクスを正則化し、局所的ルールに従って決定的に進化するブール変数（0と1）を用いる。
• ジョルダン＝ウィグナー変換を用いて、離散的ワールドーシート自由度をフェルミオンモードに写像し、適切な反交換関係を保証する。
• 整数値の場 $Q, P, \cdots$ とそれに対応する演算子 $\eta_Q, \eta_P$ を用いて、D次元スーパーヒモのヒルベルト空間基底を構成し、固有値を $[-1/2, 1/2]$ に制限する。
• $h = 1$（すなわち $\hbar = 1/(2\pi)$）を用いた修正された量子形式を実装し、位相因子と離散的移動を $\epsilon = e^{2\pi}$ を用いて符号化する。
• プランクスケールでのターゲット時空格子を維持し、格子間隔を $a_\ell = 1$ に正規化するが、ワールドーシート格子は連続的極限にとる。
• 縦モードの制約を用いて状態数の整合性を確保し、偶数／奇数の格子点構造に依存する可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元の決定的セルラー・オートマトンは、スーパーヒモの構造と一致するフェルミオン量子場理論を生成できるか？
• RQ2 ワールドーシート格子上の離散的・古典的ビットを、ローレンツ不変性を保ちながら、量子化されたD次元スーパーヒモ状態の基底に写像する方法は何か？
• RQ3 偶数／奇数の格子点構造と整数値制約は、超対称性の維持と状態数の曖昧さの回避に果たす役割は何か？
• RQ4 提案された量子力学のセルラー・オートマトン解釈は、ベルの不等式と非局所性とどのように調和するか？
• RQ5 なぜワールドーシート上に $D-2$ 個のブール自由度があると、ターゲット空間で質量ゼロで相互作用のない超対称性が生じるのか？

主な発見

• 1+1次元ワールドーシート格子上に配置されたブール変数を有する決定的セルラー・オートマトンは、ジョルダン＝ウィグナー変換を用いて、量子化されたD次元スーパーヒモ状態の基底に写像可能である。
• 写像は、時空格子が離散のままでもターゲット空間におけるローレンツ不変性を保ち、離散的理論からも離散的ローレンツ不変性が出現しうることを示唆している。
• $D-2$ 個のブール自由度の導入は、自然にターゲット空間で質量ゼロで相互作用のないフェルミオンを生じさせ、超対称性をもたらす。
• ストリング結合定数は1に設定されており、$\alpha' \sim l_P^2$ を意味し、時空格子間隔はプランク長スケールに相当する。
• 縦モードに対する制約のため状態数の問題が生じ、その解決策は格子点の偶奇性（偶数／奇数）に依存する可能性があり、格子構造とフェルミオン統計の間に潜在的な関係があることを示唆している。
• 形式的定式化は、フェルミオンのスピンおよび回転性質が、横方向への直接結合からではなく、ローレンツ変換を考慮したときのみ出現することを示唆している。