[論文レビュー] Disorder chaos and multiple valleys in spin glasses

Sourav Chatterjee|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Theoretical and Computational Physics参考文献 29被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、任意の温度および外部磁場の不在下で、シャーリングトン＝キルパトリック（S-K）スピンガラス模型において不規則性の混沌（disorder chaos）と複数の谷（multiple valleys）を確立し、小さな結合定数の摂動が基底状態を著しく変化させること、および近似的にゼロの重なりを持つ多数の低エネルギー状態が存在することを証明している。さらに、自由エネルギーの分散が通常よりも著しく小さい「超集中（superconcentration）」を同定し、これを混沌と関連づけている。一方、エドワーズ＝アンドリューズ模型では、このような混沌や超集中が見られないことを示している。

ABSTRACT

We prove that the Sherrington-Kirkpatrick model of spin glasses is chaotic under small perturbations of the couplings at any temperature in the absence of an external field. The result is proved for two kinds of perturbations: (a) distorting the couplings via Ornstein-Uhlenbeck flows, and (b) replacing a small fraction of the couplings by independent copies. We further prove that the S-K model exhibits multiple valleys in its energy landscape, in the weak sense that there are many states with near-minimal energy that are mutually nearly orthogonal. We show that the variance of the free energy of the S-K model is unusually small at any temperature. (By `unusually small' we mean that it is much smaller than the number of sites; in other words, it beats the classical Gaussian concentration inequality, a phenomenon that we call `superconcentration'.) We prove that the bond overlap in the Edwards-Anderson model of spin glasses is not chaotic under perturbations of the couplings, even large perturbations. Lastly, we obtain sharp lower bounds on the variance of the free energy in the E-A model on any bounded degree graph, generalizing a result of Wehr and Aizenman and establishing the absence of superconcentration in this class of models. Our techniques apply for the p-spin models and the Random Field Ising Model as well, although we do not work out the details in these cases.

研究の動機と目的

• シャーリングトン＝キルパトリックスピンガラス模型における多数の低エネルギー状態（弱い複数の谷）の存在を厳密に確立すること。
• 連続的（オーランシュタイン＝ウーレン）および離散的（分数的再代入）摂動の下で、S-Kモデルにおける小さな結合定数摂動への感受性（不規則性の混沌）を証明すること。
• S-Kモデルにおける超集中（自由エネルギーの分散が通常よりも著しく小さい）を同定し、連続的摂動下での混沌と関連づけること。
• エドワーズ＝アンドリューズモデルが、大きな摂動でさえも不規則性の混沌や超集中を示さないことを示すこと。
• S-Kモデルの枠組みを $p$-スピンモデルやランダム磁場イジング模型に拡張すること（ただし、これらのケースでは完全な証明を含まない）

提案手法

• ガウス過程理論とハイパーコントラクト性を用いて、自由エネルギーの分散を解析し、摂動下での重なりの上限を導出する。
• ガウス関数の分散に関する一般式（定理3.8）を適用し、S-Kモデルにおける自由エネルギーの分散を計算・評価する。
• オーランシュタイン＝ウーレン過程を用いた結合による議論により、連続的摂動下での混沌を証明し、重なりが系サイズに指数関数的に減少することを示す。
• 結合定数の一部を独立に再サンプリングする離散的摂動モデルを用いて、不連続な変化下での混沌を証明する。
• 有界次数のグラフ上のエドワーズ＝アンドリューズモデルにおける分散の鋭い下界を適用し、ウエールとアイゼンマンの結果を一般化する。
• 混沌と超集中の関係を活用する：連続的摂動下での混沌は超集中を意味し、逆もまた然りである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャーリングトン＝キルパトリックモデルは、結合定数の小さな連続的および離散的摂動に対して不規則性の混沌を示すか？
• RQ2 S-Kモデルには、互いにほぼ直交する（弱い複数の谷）多数の低エネルギー状態が存在するか？
• RQ3 S-Kモデルにおける自由エネルギーの分散は、通常よりも著しく小さい（超集中）と見なされ、混沌と関係があるか、あるいはそれらの結果か？
• RQ4 エドワーズ＝アンドリューズモデルは、結合定数の摂動に対して不規則性の混沌や超集中を示すか？
• RQ5 S-Kモデルに開発された枠組みを、$p$-スピンモデルやランダム磁場イジング模型など他のスピンガラス模型に拡張できるか？

主な発見

• S-Kモデルは、任意の温度で、連続的（オーランシュタイン＝ウーレン）および離散的（分数的再代入）摂動の下で不規則性の混沌を示す。
• S-Kモデルは弱い複数の谷を示す：近似的に最小エネルギーの状態が多数存在し、それらの間の重なり $R_{1,2} \simeq 0$ である。
• S-Kモデルにおける自由エネルギーの分散は超集中的である—サイト数 $N$ よりも著しく小さい—これは古典的集中不等式に反する。
• S-Kモデルにおける不規則性の混沌は超集中と同値である：連続的摂動下での混沌は超集中を意味し、逆もまた然りである。
• エドワーズ＝アンドリューズモデルは、いかなる摂動に対しても不規則性の混沌を示さず、自由エネルギーの分散は超集中から著しく離れている。
• ランダムエネルギー模型（REM）に関して、本稿では連続的摂動下での状態間の重なりに関する鋭い指数的減少の境界を証明しており、定数は逆温度 $\beta$ のみに依存する。