[論文レビュー] Disproof of the List Hadwiger Conjecture

János Barát, Gwenaël Joret+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、任意の整数 $ t \geq 1 $ に対して、$ K_{3t+2} $-minor を持たないが $ 4t $-choosableでないグラフを構成することにより、List Hadwiger予想を反証している。構成法は、マッチングを削除した完全 $ r $-部グラフの貼り合わせと、色割り当てを巧みに設定することで、色分けの矛盾を引き起こし、$ t \geq 8 $ の場合に予想されたchoosabilityの上限が誤りであることを示している。これにより、弱いList Hadwiger予想における定数は $ 4/3 $ よりも大きくなければならないことが判明する。

ABSTRACT

The List Hadwiger Conjecture asserts that every $K_t$-minor-free graph is $t$-choosable. We disprove this conjecture by constructing a $K_{3t+2}$-minor-free graph that is not $4t$-choosable for every integer $t\geq 1$.

研究の動機と目的

• List Hadwiger予想を反証すること。この予想は、任意の $ K_t $-minor を持たないグラフが $ t $-choosableであると主張している。
• List Hadwiger予想が示唆するように、$ K_t $-minor を持たないグラフのchoosabilityが $ t $ の線形関数で有界であるかどうかを調査すること。
• 弱いList Hadwiger予想における最良の定数 $ c $ を特定すること。ここで、$ K_t $-minor を持たないグラフは、ある絶対定数 $ c \geq 1 $ に対して $ ct $-choosableである。
• $ t \geq 8 $ の場合に、グラフの貼り合わせとリスト割り当ての技法を用いて、List Hadwiger予想の反例を明示的に構成すること。

提案手法

• 完全 $ r $-部グラフ $ K_{r \times 2} $（$ r $ 個のサイズ2の色クラスを持つ）または $ K_{1,r\times 2} $（1つのサイズ1のクラスを持つ）を、$ K_{2r} $ や $ K_{2r+1} $ から $ r $ 条のマッチングを削除することで得る。
• 補題3を用いて、$ K_{r \times 2} $ が $ K_{\lfloor 3r/2 \rfloor + 1} $-minor を持たず、$ K_{1,r\times 2} $ が $ K_{\lfloor 3r/2 \rfloor + 2} $-minor を持たないことを示す。
• グラフ $ H $ にリスト割り当て $ L $ を定義する。各 $ w_i $ はリスト $ [1,q+1] \setminus \{c_i\} $ を持ち、他のすべての頂点はリスト $ [1,q] $ を持つ。これにより、合計 $ q+1 $ 色、$ q+2 $ 頂点が確保される。
• 各タプル $ (c_1,\dots,c_r) \in [1,q]^r $ に対応する $ q^r $ 個の $ H $ のコピーを、共通のクリーク $ \{v_1,\dots,v_r\} $ に沿って貼り合わせ、新しいグラフ $ G $ を構成する。
• 補題2を適用して、$ G $ が $ K_p $-minor を持たないことを証明する。補題2は、2つの $ K_t $-minor を持たないグラフをクリークに沿って貼り合わせても、$ K_t $-minor を持たないことを示している。
• グラフ $ G $ に $ L $-色分けが存在しないことを示す。各コピー $ H(c_1,\dots,c_r) $ において、ある $ w_i $ が $ v_i $ と同じ色を持つ必要があるが、$ c_i \notin L(w_i) $ であるため、$ v_i $ は色 $ c_i $ で塗ることができず、矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 List Hadwiger予想が主張するように、任意の $ K_t $-minor を持たないグラフは $ t $-choosableであるか？
• RQ2 弱いList Hadwiger予想において、任意の $ K_t $-minor を持たないグラフが $ ct $-choosableであるような最良の定数 $ c $ は何か？
• RQ3 $ t \geq 8 $ の場合に、明示的な反例を構成して、List Hadwiger予想を反証できるか？
• RQ4 $ K_t $-minor を持たないグラフの選択数は $ t $ に対して線形に増加するか、それ以上の成長率を示すか？

主な発見

• 任意の整数 $ t \geq 1 $ に対して、$ K_{3t+2} $-minor を持たないが $ 4t $-choosableでないグラフが存在する。これは、直接的にList Hadwiger予想を反証する。
• 任意の $ t \geq 1 $ に対して、$ K_{3t+1} $-minor を持たないが $ (4t - 2) $-choosableでないグラフが存在する。これは、弱い意味で境界がタイトであることを示している。
• 任意の $ t \geq 1 $ に対して、$ K_{3t} $-minor を持たないが $ (4t - 3) $-choosableでないグラフが存在する。これにより、反例の範囲がさらに洗練される。
• 構成法により、弱いList Hadwiger予想における定数 $ c $ は $ c \geq 4/3 $ を満たさなければならないことが証明された。なぜなら、$ K_{3t+2} $-minor を持たないグラフに対して $ 4t $-choosability は不十分であるからである。
• 構成されたグラフ $ G $ は $ q $-退化的であるため、$ (q+1) $-choosable であるが、$ q $-choosable ではない。これにより、境界のタイトさが確認される。
• 証明技法は、Mirzakhaniの非4-choosableな平面グラフにインspiredされており、リスト割り当てとクリークの貼り合わせを用いて、$ K_t $-minor を持たないグラフにおける色分けの失敗を強制している。