[論文レビュー] Dissipative Perturbations of 3d Hamiltonian Systems

Daniel Fish|ArXiv.org|Jun 18, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、メトリプレクティック力学を用いて、3次元ハミルトニアン系の散逸的摂動を幾何学的枠組みで提案する。ハミルトニアンの勾配から対称テンソル $ g $ を構成し、エネルギー $ H $ が保存され、キャサミア関数 $ S $ が散逸するようにする。主な結果は、$ dH $ が零ベクトルであり、$ dS \cdot gdS \leq 0 $ を満たす正準形 $ g = \nabla H \otimes \nabla H - \mathrm{I}\|\nabla H\|^2 $ の保証であり、これは平衡状態への安定的漸近的収束を可能にする。

ABSTRACT

In this article we present some results concerning natural dissipative perturbations of 3d Hamiltonian systems. Given a Hamiltonian system dx/dt = PdH, and a Casimir function S, we construct a symmetric covariant tensor g, so that the modified (so-called 'metriplectic') system dx/dt = PdH + gdS satisfies the following conditions: dH is a null vector for g, and dS(gdS)< 0. Along solutions to a dynamical system of this type, the Hamiltonian function H is preserved while the function S decreases, i.e. S is dissipated by the system. We are motivated by the example of a relaxing rigid body by P.J. Morrison in which systems of this type were introduced.

研究の動機と目的

• 3次元空間における保存的および散逸的ダイナミクスを併存させる系を幾何学的にモデル化すること。
• ハミルトニアン $ H $ が保存され、キャサミア関数 $ S $ が散逸するような対称共変テンソル $ g $ を構築すること。
• モリソンのメトリプレクティック形式を、内在的な幾何的構造を用いて3次元系へ一般化すること。
• このような系の平衡状態および長期的挙動を分析すること、特に静止状態への収束を明らかにすること。

提案手法

• メトリプレクティック系を $ \dot{x} = PdH + gdS $ と定義する。ここで $ P $ はポアソンテンソル、$ g $ は対称テンソルである。
• ハミルトニアンの勾配を用いて $ g $ を構成する：$ g = \nabla H \otimes \nabla H - \mathrm{I}\|\nabla H\|^2 $。これにより $ gdH = 0 $ が保証される。
• 散逸の保証のため、$ dS \cdot gdS \leq 0 $ の条件を課す。これはベクトル場の表現における外積項によって達成される。
• 局所座標と計量双対性を用いて、$ gdS $ を $ dH $、$ dS $、およびそれらの外積 $ \sigma = dS \times dH $ の項で表現する。
• 条件 $ dS \cdot gdS = -\|\sigma\|^2 \leq 0 $ を導出する。これは $ g^{ij} = H^i H^j $（$ i \neq j $）のとき、散逸が保証されることを示す。
• 平衡状態を $ \xi = PdH + gdS = 0 $ である点として特定する。特に $ dS = 0 $ または $ P = 0 $ の場合を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元メトリプレクティック系において、$ gdH = 0 $ かつ $ dS \cdot gdS \leq 0 $ を満たすような対称テンソル $ g $ はどのように構成できるか？
• RQ2 このような系において、ハミルトニアン $ H $ が保存され、キャサミア関数 $ S $ が散逸するための条件は何か？
• RQ3 メトリプレクティック系の平衡状態は、$ H $ および $ S $ の極値とどのように関係するか？
• RQ4 不変集合 $ \mathcal{I} = \{ y = 0 \} \cap \{ H = \text{const} \} $ がフローのもとで保存される条件は何か？
• RQ5 散逸項が消える安定な静止状態へ、系が収束可能か？

主な発見

• テンソル $ g = \nabla H \otimes \nabla H - \mathrm{I}\|\nabla H\|^2 $ により、$ gdH = 0 $ が保証され、ハミルトニアン $ H $ が保存される。
• 散逸条件 $ dS \cdot gdS = -\|\sigma\|^2 \leq 0 $ が満たされ、ここで $ \sigma = dS \times dH $ である。これは $ S $ の減少を保証する。
• 平衡状態は $ \xi = PdH + gdS = 0 $ となる点に現れる。これは $ dS = 0 $ または $ P = 0 $ の点、例えば例1における球の赤道に相当する。
• 例1では、集合 $ \mathcal{I} $（$ y=0 $ 平面と球の交わり）がフローのもとで不変であり、系は安定な平衡点 $ (r_0, 0, 0) $ へ収束する。
• 例2では、$ \mathcal{I} $ は $ z = 0 $ のときのみ不変であり、平衡点は $ (x, 0, 0) $ のみである。これは系の幾何的構造に敏感であることを示している。
• 系は $ gdS = 0 $ となる静止状態へ進化し、$ dS = 0 $ のときには安定な平衡状態に対応する。これはハミルトニアン状態への収束を示唆する。