[論文レビュー] Distance between subspaces of different dimensions

Ke Ye, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 41被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、グラスマン多様体の代数的幾何学を活用することで、次元が異なる部分空間同士、およびアフィン部分空間同士の統一的で内在的な距離測度を導入する。主な角度と主軸を用いて標準的なグラスマン距離を一般化し、埋め込みを必要としない安定な計算が可能となり、データサイエンスおよび幾何学分野における多様な部分空間比較タスクに応用可能である。

ABSTRACT

We resolve two problems regarding subspace distances that have arisen considerably often in applications: How could one define a notion of distance between (i) two linear subspaces of different dimensions, or (ii) two affine subspaces of the same dimension, in a way that generalizes the usual Grassmann distance between equidimensional linear subspaces? We show that (i) is the distance of a point to a Schubert variety, and (ii) is the distance in the Grassmannian of affine subspaces, both regarded as subvarieties in the Grassmannian. Combining (i) and (ii) yields a notion of distance between (iii) two affine subspaces of different dimensions. Aside from reducing to the usual Grassmann distance when the subspaces in (i) are equidimensional or when the affine subspaces in (ii) are linear subspaces, these distances are intrinsic and do not depend on any embedding. Furthermore, they may all be written down as concrete expressions involving principal angles and principal vectors, and are efficiently computable in numerical stable ways. We show that our results are largely independent of the Grassmann distance --- if desired, it may be substituted by any other common distance between subspaces. Central to our approach to these problem is a concrete algebraic geometric view of the Grassmannian that parallels the differential geometric perspective that is now well-established in applied and computational mathematics. A secondary goal of this article is to demonstrate that the basic algebraic geometry of Grassmannian can be just as accessible and useful to practitioners.

研究の動機と目的

• 応用力学における標準的な解法が存在しない、次元が異なる線形部分空間間の距離を定義すること。
• 同じ次元のアフィン部分空間へ、部分空間距離の概念を拡張し、線形部分空間に限らないグラスマン距離の一般化を実現すること。
• 線形部分空間およびアフィン部分空間の両方の次元の違いを統合的に取り扱う一貫性のあるフレームワークを構築すること。
• 主な角度と主軸を用いて、内在的で埋め込みに依存せず、数値的に安定した距離を保証すること。
• グラスマン多様体の代数的幾何学が、応用研究者にとってアクセス可能で実用的であることを示すこと。

提案手法

• 次元が異なる部分空間間の距離を、グラスマン多様体内におけるシューベルティング多様体への点からの距離としてモデル化する。
• 同じ次元のアフィン部分空間間の距離を、アフィン部分空間のグラスマン多様体内での距離として定式化し、部分多様体として扱う。
• 主な角度と主軸を用いて、すべての距離を閉形式で表現し、数値的安定性と計算効率を実現する。
• 部分空間が同次元かつ線形である場合には、提案された距離が標準的なグラスマン距離に還元されることを確立する。
• 従来の微分幾何学的視点と並行して、グラスマン多様体に対する代数的幾何学的視点を用いて、全体のアプローチをフレームワーク化する。
• 提案されたフレームワークが、グラスマン距離に他の一般的な部分空間距離に置き換えられても有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が異なる2つの線形部分空間間の意味のある距離を、グラスマン距離を一般化する形で定義する方法は何か？
• RQ2 同じ次元のアフィン部分空間へ、グラスマン距離をどのように一般化できるか？
• RQ3 線形部分空間および次元が異なるアフィン部分空間を同時に取り扱える統一的距離測度を構築できるか？
• RQ4 主な角度や主軸といった幾何的不変量を用いて、このような距離を安定的かつ効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 代数的幾何学的視点から見たグラスマン多様体は、応用研究者にとってどれほどアクセス可能で実用的であるか？

主な発見

• 次元が異なる部分空間間の距離は、グラスマン多様体内におけるシューベルティング多様体への点からの距離として定義され、幾何学的に整合性のある一般化を提供する。
• 同じ次元のアフィン部分空間間の距離は、アフィン部分空間のグラスマン多様体内での距離として定式化され、内在的な幾何的構造を保つ。
• 提案された距離は内在的であり、より大きな空間への埋め込みに依存しないため、ロバストで一貫性がある。
• すべての距離は主な角度と主軸を用いて明示的に計算可能であり、数値的評価が安定に実現できる。
• グラスマン距離が他の一般的な部分空間距離に置き換えられても、フレームワークは有効なままであり、柔軟性が向上する。
• グラスマン多様体の代数的幾何学的アプローチが、理論的にも根拠があり、応用研究においても実用的であることが示された。