[論文レビュー] Distinguished cycles on varieties with motive of abelian type and the Section Property

Lie Fu, Charles Vial|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アーベル的タイプのチャウ・モチーフをもつ滑らかでコンパクトな代数的多様体が、数値同値関係による商への rational チャウ環の自然な全射に対して、チャウ類を引き上げる切断が存在するための十分条件を確立するため、対称的に区別されたアーベル的モチーフの概念を導入する。主な貢献は、アーベル多様体、双曲的曲線、フェルマーの立方超曲面、および高ピカール数の K3 またはクラスマン多様体上のヒルベルトスキームを含む多数の多様体に対して、そのような切断の存在を証明することであり、ホロモルフィックシンプレクティック幾何における予想される「切断性質」に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

A remarkable result of Peter O'Sullivan asserts that the algebra epimorphism from the rational Chow ring of an abelian variety to its rational Chow ring modulo numerical equivalence admits a (canonical) section. Motivated by Beauville's splitting principle, we formulate a conjectural Section Property which predicts that for smooth projective holomorphic symplectic varieties there exists such a section of algebra whose image contains all the Chern classes of the variety. In this paper, we investigate this property for (not necessarily symplectic) varieties with Chow motive of abelian type. We introduce the notion of symmetrically distinguished abelian motive and use it to provide a sufficient condition for a smooth projective variety to admit such a section. We then give series of examples of varieties for which our theory works. For instance, we prove the existence of such a section for arbitrary products of varieties with Chow groups of finite rank, abelian varieties, hyperelliptic curves, Fermat cubic hypersurfaces, Hilbert schemes of points on an abelian surface or a Kummer surface or a K3 surface with Picard number at least 19, and generalized Kummer varieties. The latter cases provide evidence for the conjectural Section Property and exemplify the mantra that the motives of holomorphic symplectic varieties should behave as the motives of abelian varieties, as algebra objects.

研究の動機と目的

• ホロモルフィックシンプレクティック多様体に対して、 rational チャウ環からその数値同値関係による商への自然な全射が、チャウ類を保存する切断をもつという性質（切断性質）を定式化・考察すること。
• アーベル多様体に対して Peter O’Sullivan が得た結果を、チャウ・モチーフがアーベル的タイプであるより広い多様体のクラスへと拡張すること。
• このような切断の存在を保証する十分条件として、対称的に区別されたアーベル的モチーブの概念を導入すること。
• ヒルベルトスキームや K3 表面上の一般化されたクラスマン多様体などの明示的例を提示し、切断性質が成り立つことを示し、ホロモルフィックシンプレクティック多様体のモチーブがアーベル多様体のモチーブと同様に、チャウ・モチーブ圏における代数的対象として振る舞うという考えを支援すること。

提案手法

• アーベル多様体上の対称的に区別されたサイクルの概念を導入し、ねじれ構造をもつアーベル torsor へと拡張する。
• O’Sullivan のアーベル多様体上の標準的切断の一般化として、対称的に区別されたアーベル的モチーブを定義する。
• チャウ–クネンス分解と代数構造の整合性を保証する鍵となる条件 $(\star)$ を用い、切断の存在を判定する基準とする。
• 積、射影バンドル、吹き替え、一般に有限な準同型などの操作を用い、条件 $(\star)$ が保たれることを示し、これにより新しい多様体クラスへの適用を拡張する。
• 曲線の genus ≤2、フェルマー超曲面、ピカール数 ≥19 の K3 表面、アーベルまたはクラスマン多様体上のヒルベルトスキームについて、$(\star)$ を検証することで明示的例を構成する。
• ブルアヴィル分解とセリューズサイクルを用い、特定の多様体（例えば、genus >2 の非常に一般な曲線やフェルマー四次曲線）が $(\star)$ を満たさないことを示し、理論の限界を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャウ・モチーブがアーベル的タイプである多様体に対して、数値同値関係による商への rational チャウ環の全射が、チャウ類を引き上げる切断をもつだろうか？
• RQ2 もともとホロモルフィックシンプレクティック多様体に対して予想された切断性質が、アーベル的タイプのモチーブをもつ特定の多様体クラスに対しても確立可能だろうか？
• RQ3 チャウ–クネンス分解に対して、このような切断の存在を保証する条件は何か？ そして、実際の応用においてそれらの条件をどのように検証できるか？
• RQ4 どのアーベル的タイプのモチーブをもつ多様体が切断性質を満たさず、その失敗を検出する幾何的不変量は何か？
• RQ5 ホロモルフィックシンプレクティック多様体のモチーブが、代数的対象としてのチャウ・モチーブ圏において、どの程度アーベル多様体のモチーブと同様に振る舞うだろうか？

主な発見

• 本稿では、アーベル多様体に対して、数値同値関係による商への rational チャウ環の全射に対して、切断の存在が証明され、O’Sullivan の結果が一般化されている。
• チャウ群が有限ランクである任意の多様体の積に対して、そのような切断が存在する。
• すべての双曲的曲線に対して、そのモチーブがアーベル的タイプであり、鍵となる条件 $(\star)$ を満たすため、切断が存在する。
• フェルマーの立方超曲面に対しても、対称的に区別されたアーベル的モチーブをもつため、切断が存在する。
• ピカール数が19以上のアーベル面、クラスマン面、または K3 表面上の点のヒルベルトスキームに対しては、乗法的チャウ–クネンス分解の存在により、切断性質が成り立つ。
• 一般化されたクラスマン多様体に対しても、同様の切断が存在し、ホロモルフィックシンプレクティック幾何における予想される切断性質に対するさらなる証拠を提供する。