[論文レビュー] Distinguished representations, base change, and reducibility for unitary groups

U. K. Anandavardhanan, C. S. Rajan|ArXiv.org|Aug 27, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$GL_n(E)$ の平方可積分表現に対して、ランクイン＝セルバーグおよびラングランズ＝シャーディーの両方の方法で定義されたアサイ L 関数の等価性を確立し、それを用いてユニタリ群 $U(n)$ から $GL_n(E)$ への基本変換写像の像を $GL_n(F)$-区別可能性（distinguishedness）の観点から特徴付ける。超臨界表現の $GL_3(E)$ が $GL_3(F)$-区別可能であるための必要十分条件は、$U(3)$ からの安定的基底拡張であることであることを証明し、成分の $\omega_{E/F}$-区別可能性を用いて $U(n,n)$ の誘導表現の可約性を特定する。

ABSTRACT

We show the equality of the local Asai L-functions defined via the Rankin-Selberg method and the Langlands-Shahidi method for a square integrable representation of GL(n,E). As a consequence we characterise reducibility of certain induced representations of U(n,n), and the image of the base change map from U(n) to GL(n,E) in terms of GL(n,F)-distinguishedness.

研究の動機と目的

• 平方可積分表現 $\pi$ について、$GL_n(E)$ 上のランクイン＝セルバーグおよびラングランズ＝シャーディーの両方の方法で定義されたアサイ L 関数の等価性を確立すること。
• $U(n)$ から $GL_n(E)$ への基本変換写像の像を $GL_n(F)$-区別可能性の観点から特徴付けること。
• 誘導表現 $I(\pi)$ の可約性を、$GL_n(F)$ に関する成分の区別可能性を用いて $U(n,n)$ のパラボリック誘導表現に対して特定すること。
• 超臨界表現に対して $n=3$ の場合にフライクラ＝ラリス予想を検証すること。
• シュタイナーベルク表現 $GL_n(E)$ に対するプラサド予想の証拠を提供すること。

提案手法

• 平方可積分表現 $\pi$ に対する $GL_n(E)$ 上のアサイ L 関数のランクイン＝セルバーグ定義 $L_1(s, As(\pi))$ とラングランズ＝シャーディー定義 $L_2(s, As(\pi))$ の等価性を、グローバルな手法を用いて証明する。
• 誘導表現 $I(\pi)$ の可約性を分析するため、$R$-群の理論を適用する。ここで $\pi$ は $M \cong \prod GL_{n_i}(E)$ というレヴィ部分群上の離散的系列表現である。
• $R(\pi) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ であるという事実に依拠する。ここで $r$ は、$GL_{n_i}(F)$ に関して $\omega_{E/F}$-区別可能な $\pi_i$ の数である。
• 誘導表現 $I(\pi)$ が可約であるための必要十分条件は、$L_2(s, As(\pi))$ が $s=0$ で極を持つことである。この極は、アサイ L 関数を通じて区別可能性と関連づけられる。
• 等価性を用いて、$L_1(s, As(\pi \otimes \widetilde{\omega}))$ が $s=0$ で極を持つことと、$\pi$ が $\omega_{E/F}$-区別可能であることの同値性を示す。
• $L(s, \pi \times \bar{\pi}) = L_2(s, As(\pi)) L_2(s, As(\pi \otimes \widetilde{\omega}))$ であり、$L(s, \pi \times \bar{\pi})$ が $s=0$ で極を持つことと $\pi^\vee \cong \bar{\pi}$ であることは同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方可積分表現 $GL_n(E)$ に対して、ランクイン＝セルバーグの方法で定義されたアサイ L 関数とラングランズ＝シャーディーの方法で定義されたアサイ L 関数は等しいか？
• RQ2 超臨界表現 $\pi$ が $GL_3(E)$ に対して $GL_3(F)$-区別可能であるための必要十分条件は、$U(3)$ からの安定的基底拡張であることか？
• RQ3 パラボリック誘導表現 $U(n,n)$ の可約性は、誘導データの成分の性質によってどのように決定されるか？
• RQ4 $GL_n(E)$ のシュタイナーベルク表現が、$GL_n(F)$ の文字 $\chi \circ \det$ に関して区別可能であるのはいつか？
• RQ5 成分の $\omega_{E/F}$-区別可能性は、$U(n,n)$ の $R$-群の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 平方可積分表現 $GL_n(E)$ に対して、ランクイン＝セルバーグおよびラングランズ＝シャーディーの両方の方法で定義されたアサイ L 関数は等しい。
• 超臨界表現 $\pi$ が $GL_3(E)$ に対して $GL_3(F)$-区別可能であることと、$U(3)$ からの安定的基底拡張であることとは同値である。
• レヴィ部分群上の離散的系列表現 $\pi$ に対して、$U(n,n)$ の $R$-群 $R(\pi)$ は、$GL_{n_i}(F)$ に関して $\omega_{E/F}$-区別可能な $\pi_i$ の数を $r$ とすると、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ に同型である。
• $U(n,n)$ の誘導表現 $I(\pi)$ は、$\pi$ が $GL_n(F)$ に関して $\omega_{E/F}$-区別可能であることと同値に可約である。
• $GL_n(E)$ のシュタイナーベルク表現は、$GL_n(F)$-区別可能（$\chi \circ \det$ に関して）であるための必要十分条件は、$n$ が奇数で $\chi$ が自明、または $n$ が偶数で $\chi = \omega_{E/F}$ であることである。
• $\pi^\vee \cong \bar{\pi}$ かつ $L_2(s, As(\pi))$ が $s=0$ で正則であることと、$\pi$ が $\omega_{E/F}$-区別可能であることとは同値である。