[論文レビュー] Distributed Grover's algorithm

Daowen Qiu, Le Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ブール関数を $2^k$ 個の部分関数に分解し、$n-k$ 入力ビットを持つことによって、検索をより小さな並列部分問題に分散させることで、クエリ複雑性を低減する分散Groverアルゴリズムを提案する。$a=1$ のターゲット項目の場合、標準Groverの $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}\rfloor$ よりも著しく少ない $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}}\rfloor$ クエリを達成し、高い成功確率を維持するとともに、$O(m\log m)$ ゲート複雑性でCNF式のオラクルを効率的に構築可能である。

ABSTRACT

Let Boolean function $f:\{0,1\}^n\longrightarrow \{0,1\}$ where $|\{x\in\{0,1\}^n| f(x)=1\}|=a\geq 1$. To search for an $x\in\{0,1\}^n$ with $f(x)=1$, by Grover's algorithm we can get the objective with query times $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{\frac{2^n}{a}} floor$. In this paper, we propose a distributed Grover's algorithm for computing $f$ with lower query times and smaller number of input bits. More exactly, for any $k$ with $n>k\geq 1$, we can decompose $f$ into $2^k$ subfunctions, each which has $n-k$ input bits, and then the objective can be found out by computing these subfunctions with query times at most $\sum_{i=1}^{r_i} \lfloor \fracπ{4}\sqrt{\frac{2^{n-k}}{b_i}} floor+\lceil\sqrt{2^{n-k}} ceil+2t_a+1$ for some $1\leq b_i\leq a$ and $r_i\leq 2t_a+1$, where $t_a=\lceil 2π\sqrt{a}+11 ceil$. In particular, if $a=1$, then our distributed Grover's algorithm only needs $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{2^{n-k}} floor$ queries, versus $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{2^{n}} floor$ queries of Grover's algorithm. %When $n$ qubits belong to middle scale but still are a bit difficult to be processed in practice, $n-k$ qubits are likely feasible for appropriate $k$ in physical realizability. Finally, we propose an efficient algorithm of constructing quantum circuits for realizing the oracle corresponding to any Boolean function with conjunctive normal form (CNF).

研究の動機と目的

• NISQ時代の量子計算におけるGroverアルゴリズムのクエリ複雑性と回路深さを、より小さな部分関数に検索を分散させることで低減すること。
• 入力キュービット数と回路深さを最小限に抑えることで、大規模量子アルゴリズムの物理的実装可能性を向上させること。
• 結合標準形（CNF）のブール関数のオラクル用に、効率的な量子回路構築法を開発すること。
• オラクル間のエンタングルメントを回避することで、部分関数の検索を並列実行可能とし、スケーラビリティを向上させること。
• イオントラップシステムなどの近位量子ハードウェアに適した、分散Groverアルゴリズムの実装フレームワークを提供すること。

提案手法

• ブール関数 $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ を $2^k$ 個の部分関数 $f_i(x) = f(xy_i)$ に分解し、それぞれが $n-k$ 入力キュービットを持つようにする。ここで $y_i$ はインデックス $i$ の2進表現である。
• 各部分関数に対して独立にGroverアルゴリズムを適用し、各部分関数で $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}/b_i}\rfloor$ クエリを用いる。ここで $b_i$ は部分関数 $f_i$ 内の解の数を表す。
• すべての部分関数オラクルが独立に動作する並列実行戦略を採用し、エンタングルメントを回避することで通信オーバーヘッドを低減する。
• 3CNFに対して $O(m\log m)$ の基本ゲートと $O(\log m)$ のアーキバリーキュービットを用いて、位相反転オラクル $Z_f|x\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle$ を実装する再帰的オラクル構築アルゴリズム（アルゴリズム6）を導入する。
• オラクル部品を実装するために、$O(\lceil\log(m+1)\rceil)$ ゲートとアーキバリーキュービットを用いた制御加算および制御減算操作を用いる。
• 部分関数のクエリを組み合わせ、最終的な検証ステップとして $\lceil\sqrt{2^{n-k}}\rceil + 2t_a + 1$ 個の追加クエリを用いる。ここで $t_a = \lceil 2\pi\sqrt{a} + 11 \rceil$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Groverの検索を部分関数に分散させることで、合計クエリ数と回路深さを低減できるか？
• RQ2 解の数 $a$ が小さい場合、分散手法のクエリ複雑性は標準Groverアルゴリズムと比べてどのように異なるか？
• RQ3 クエリオーバーヘッドを最小限に抑えるために、ブール関数を部分関数に最適に分解する方法は何か？
• RQ4 CNF形式のブール関数に対して、オラクル実装コストを低減する効率的な量子回路構築法を設計できるか？
• RQ5 部分関数の検索を並列で実行する場合と逐次で実行する場合の、成功確率と合計クエリ数への影響は何か？

主な発見

• $a=1$ の場合、分散Groverアルゴリズムは $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}}\rfloor$ クエリのみを要し、$n$ が大きい場合、標準Groverの $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}\rfloor$ よりも指数的に少ない。
• 並列手法の最悪ケースクエリ複雑性は、$\sum_{i=1}^{r_i} \lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2^{n-k}}{b_i}}\rfloor + \lceil\sqrt{2^{n-k}}\rceil + 2t_a + 1$ で抑えられ、$r_i \leq 2t_a + 1$ かつ $t_a = \lceil 2\pi\sqrt{a} + 11 \rceil$ を満たす。
• $m$ 個の節を含む3CNFブール関数のオラクルは、$O(m\log m)$ 時間で $O\left(\log m\right)$ のアーキバリーキュービットを用いて構築可能であり、効率的な実装が可能である。
• すべての部分関数オラクルを並列で実現する時間計算量は $O(\max_{i} m_i \log m_i)$ であり、$m_i$ は部分関数 $f_i$ の節数を表す。
• 分散アルゴリズムの成功確率は、標準Groverアルゴリズムとほぼ同等であり、部分関数間で高い忠実度が維持される。
• 入力キュービット数と回路深さを低減することで、スケーラブルかつ物理的に実装可能な量子検索が可能となり、イオントラップシステムなどの近位NISQデバイスに適している。