[論文レビュー] Distribution modulo 1 and the lexicographic world

J-P. Allouche, Amy Glen|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、lexicographic順序とSturmian列におけるcentral wordを用いて、任意の$\xi > 0$および$n \geq 0$に対してすべての分数部分${\xi 2^n\}$を含む最小の区間を完全に特徴づけている。このような区間は$\xi$の2進展開によって決定され、各$x \in [0,1]$を、すべての$n$に対して$\{\xi 2^n\} \in [x,y]$を満たす最小の$y$に写す関数$F(x)$を定義し、$F(x)$が$\xi$の桁の列のlexicographic構造によって完全に決定されることを示している。主な結果は、binary列におけるmorphismとcentral wordを用いた$F(x)$の完全な記述である。

ABSTRACT

We give a complete description of the minimal intervals containing all fractional parts $\{ξ2^n\}$, for some positive real number $ξ$, and for all $n \geq 0$.

研究の動機と目的

• 与えられた$\xi > 0$およびすべての$n \geq 0$に対して、すべての分数部分$\{\xi 2^n\}$を含む最小の閉区間$[x, y]$を特定すること。
• 各$x$を、すべての$n$に対して$\{\xi 2^n\} \in [x,y]$を満たすような$y$の下界となる最小の$y$に写す関数$F: [0,1] \to [0,1]$を定義し、その性質を分析すること。
• $\{\xi 2^n\}$が長さ$1/2$の固定区間に位置するような$\xi$の2進展開の構造を特徴づけること。
• binary列のlexicographic構造と$\{\xi 2^n\}$のmod 1における分布との間の関係を確立すること。
• Bugeaud-Dubickasの$b$-adic展開に関する定理を$b=2$の場合に拡張し、$F(x)$の完全な特徴づけを示すこと。

提案手法

• すべての$n \geq 0$に対して$\{\xi 2^n\} \in [x,y]$を満たすような$\xi > 0$が存在するような$y$の下界として関数$F(x)$を定義する。
• 特に最終的に周期的でない列に注目して、$\xi$の2進展開を、lexicographic順序の枠組みで分析する。
• binary列から$(1w_{p,q}0)^\infty$の形をした最終的に周期的な列へ写すmorphism$\phi$を適用する。ここで$w_{p,q}$はcentral wordである。
• palindromic closureと$Pal$作用素を用いて、binary列$\boldsymbol{u}$の最长のcentral prefixを特徴づける。
• Sturmian列と周期的でバランスの取れた列の構造を用いて、$\xi$の桁展開に基づく$\{\xi 2^n\}$の振る舞いを分類する。
• $F(x) = y$であるための必要十分条件は、$x$の2進展開（またはその双対）を$morphism\ \phi$に作用させた結果が$y$の2進展開に一致することである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの$x \in [0,1]$に対して、すべての$n \geq 0$に対して$\{\xi 2^n\} \in [x, y]$を満たす$\xi > 0$が存在し、そのような$y$の最小値は何か？
• RQ2 $F(x)$は、$x$を、すべての$n$に対して$\{\xi 2^n\} \in [x,y]$を満たすような最小の$y$に写す関数であるが、この$F(x)$は$\xi$の2進展開のlexicographic構造によってどのように決定されるか？
• RQ3 $\xi$の2進展開と、$\{\xi 2^n\}$のmod 1における列の構造との間の正確な関係は何か？
• RQ4 $F(x)$が半開区間または開区間を返すのはいつか？これは列$\boldsymbol{s}_{\alpha,\rho}$のシフトにどのように依存するか？
• RQ5 binary列におけるcentral wordとpalindromic prefixは、$F(x)$の値をどのように決定するか？

主な発見

• $F(x)$は、$x$の2進展開のlexicographic順序によって完全に決定され、$F(x) = y$であるための必要十分条件は、$x$の2進展開に$morphism\ \phi$を作用させた結果が$y$の2進展開に一致することである。
• $x = \frac{1}{4} = 0.01000\ldots_2$のとき、$F\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{2}{3}$である。なぜなら$\phi(01000\ldots) = (10)^\infty$であり、これは$\frac{2}{3}$の2進展開であるからである。
• もし$\xi$の2進展開が$\{k,k+1\}$上でのSturmian列であれば、$\{\xi 2^n\}$は長さ$1/2$の閉区間に位置し、このような列のsupporthに属する$x$に対して$F(x)$は正しく定義される。
• $F(x)$の値は、$x$の2進展開の最长のcentral prefixによって決定される。このprefixが$w_{p,q}$であれば、ある$p,q$に対して$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q}$となる。
• $\boldsymbol{u}$が$w_{p,q}100$で始まり$p > 2q$であるような列に対して、$\phi(0\boldsymbol{u}) = (1w_{p,q}0)^\infty$であり、これは$\phi$の像を通じて$F(x)$を決定する。
• $x$の2進展開が最終的に周期的でない点では$F(x)$は不連続であり、その値は$\xi$の特徴的Sturmian列とのlexicographic比較に依存する。