[論文レビュー] Distribution-Path Dependent Nonlinear SPDEs with Application to Stochastic Transport Type Equations

Panpan Ren, Hao Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、正則化近似法を用いて、特異な拡散項を有する分布パス依存非線形確率偏微分方程式（SPDE）のグローバル存在および一意性を確立する。強いノイズが、ストキャスティック輸送型方程式、特にコリolis効果を伴う・なしのカマッサ＝ホルム方程式において、有限時間 blow-up を防ぐことを示し、決定論的には崩壊するがノイズによって安定化されるノイズ誘発正則化を実証する。

ABSTRACT

By using a regularity approximation argument, the global existence and uniqueness are derived for a class of nonlinear SPDEs depending on both the whole history and the distribution under strong enough noise. As applications, the global existence and uniqueness are proved for distribution-path dependent stochastic transport type equations, which are arising from stochastic fluid mechanics with forces depending on the history and the environment. In particular, the distribution-path dependent stochastic Camassa--Holm equation with or without Coriolis effect has a unique global solution when the noise is strong enough, whereas for the deterministic model wave-breaking may occur. This indicates that the noise may prevent blow-up almost surely.

研究の動機と目的

• 解のパスと分布に依存するノイズを有する分布パス依存確率流体モデルの適切な定式化という未解決問題に取り組むこと。
• 状態空間において well-defined でない、流体力学に由来するような特異な拡散項を含む古典的SPDE理論を拡張すること。
• 状態変数に関して局所リプシッツ連続である係数を有する非線形SPDEのグローバル存在および一意性を確立すること。
• 決定論的系で有限時間 blow-up を示すストキャスティック流体モデルにおいて、強いノイズが波面崩壊を防ぐかどうかを示すこと。

提案手法

• 特異な拡散項を扱うために、解を滑らかさの系列空間に逐次近似する正則化近似法を用いる。
• 一意性の証明において、局所リプシッツ連続係数を扱うために停止時刻を用いた局所化技術を採用する。
• 双対性および交換子推定を用いて特異な拡散項を同定し、ヒルベルト空間における修正された伊藤の公式を適用する。
• 微分を含む拡散項の非線形性を制御するため、ソボレフ空間における交換子推定を用いる。
• 演算子 $J_n$ および $T_n$ を用いた切断および正則化スキームにより、係数が明確に定義された近似SPDEを定義する。
• 近似解の成長および収束を制御するため、ソボレフノルム $H^s$ および $H^{s'}$ における事前推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間において well-defined でない特異な拡散項を有する分布パス依存SPDEに対して、グローバル解が存在しうるか？
• RQ2 決定論的系で波面崩壊を示すストキャスティック流体モデルにおいて、強いノイズが有限時間 blow-up を防ぐか？
• RQ3 係数が局所リプシッツ連続である場合に、解のパスと分布に依存するSPDEの適切な定式化はどのように確立できるか？
• RQ4 ノイズの強度は、そうでなければ特異化する可能性のある解を安定化する役割を果たすか？
• RQ5 コリオリ効果を伴うカマッサ＝ホルム方程式は、決定論的系で波面崩壊を示すが、強いノイズ下でも一意なグローバル解が存在するか？

主な発見

• 強いノイズ条件下で、特異な拡散項を有する分布パス依存非線形SPDEのクラスに対して、グローバル存在および一意性が確立された。
• コリオリ効果を伴う・なしのストキャスティックカマッサ＝ホルム方程式は、ノイズが十分に強い場合には一意なグローバル解を持つ。
• 決定論的系では確実に発生する波面崩壊が、強いノイズによって確実に回避される。
• 正則化近似法は、$H^s$-ベースのSPDEにおける特異な拡散項 $-(X\cdot\nabla)X$ を、交換子推定および演算子切断を用いて効果的に扱うことに成功した。
• 強いノイズが誘発する非爆発的性により、解の分布が全時間区間で適切に定義され、主要な技術的障壁が解消された。
• 本手法は、解の履歴と経験的分布に依存する確率的流体モデルを研究するためのフレームワークを提供する。