[論文レビュー] Distributional Robust Kelly Gambling

Qingyun Sun, Stephen Boyd|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可能性のある確率分布の集合（あいまいさ集合）の下で、最も悪い場合の期待対数資産を最大化するようにベットを最適化する、分布に頑健なケリー・ギャンブル戦略を導入する。このアプローチは有限の結果設定において凸的かつ取り扱いやすく、分布の不確実性に対して頑健性を保ちつつ、凸最適化手法によって計算の実行可能性を維持する。

ABSTRACT

In classic Kelly gambling, bets are chosen to maximize the expected log growth of wealth, under a known probability distribution. In this note we consider the distributional robust version of the Kelly gambling problem, in which the probability distribution is not known, but lies in a given set of possible distributions. The bet is chosen to maximize the worst-case (smallest) expected log growth among the distributions in the given set. This distributional robust Kelly gambling problem is convex, but in general need not be tractable. We show that it can be tractably solved in a number of useful cases when there is a finite number of outcomes.

研究の動機と目的

• 古典的ケリー・ギャンブルが確率分布を既知と仮定するという制限を克服するため、分布の不確実性下で頑健な代替戦略を導入すること。
• あり得る分布の集合に対して、最小の期待対数成長を最大化する分布に頑健なケリー・ギャンブル問題を定式化すること。
• 特に有限の結果設定において、この頑健最適化問題が計算的に取り扱い可能である条件を確立すること。

提案手法

• 目的は、与えられたあいまいさ集合内の確率分布の下で、最悪ケースの期待対数資産を最大化する凸最適化プログラムとして問題を定式化すること。
• あいまいさ集合は、モーメント制約やf-発散度などの統計的・情報理論的制約によって構築される、あり得る確率分布の集合として定義される。
• 頑健ケリー戦略は、双対問題を凸最適化により解くことで導出され、双対性理論を用いてミニマックス問題を取り扱い可能な形に変換する。
• 有限の結果空間では、この手法は二次錐計画法またはコーン計画法に簡略化され、効率的な数値解法が可能になる。
• 真の分布の完全な知識がなくても、あいまいさ集合内での最も悪質な分布に対してヘッジをかけることで、頑健性を確保する。
• 真の分布があいまいさ集合内で名目推定値から逸脱しても、性能が著しく低下しないように、解は分布に頑健である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ケリー・ギャンブル戦略を、下位の確率分布の不確実性に対応できるようにどのように拡張できるか？
• RQ2 分布に頑健なケリー問題が計算的に取り扱い可能となる条件は何か？
• RQ3 どのような種類のあいまいさ集合が、有限の結果設定におけるギャンブル状況で凸的かつ解ける頑健最適化問題をもたらすか？
• RQ4 分布のシフトが生じた場合、頑健戦略は古典的ケリー戦略と比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ5 頑健アプローチを、グローバル最適性を保証し、効率的な計算を可能にする凸計画問題として定式化できるか？

主な発見

• 分布に頑健なケリー・ギャンブル問題は凸的であるため、任意の局所最適解がグローバル最適解であることが保証され、信頼性の高い数値解法が可能になる。
• 有限の結果設定では、頑健問題を二次錐計画法に再定式化でき、効率的かつスケーラブルな計算が可能になる。
• 頑健戦略は、あいまいさ集合内のすべての分布に対して、保証された最小期待対数成長を達成し、不確実性下でのパフォーマンス保証を提供する。
• 真の分布が名目推定値から外れる分布の不適合が生じる状況では、古典的ケリー戦略よりも本手法が優れた性能を発揮する。
• f-発散度やモーメント制約に基づくあいまいさ集合の使用は、問題の凸性を保ちつつ取り扱い可能な定式化をもたらす。
• 頑健解は分布に敏感であるため、あいまいさ集合の構造に応じて適応され、最悪の分布に対するより強いヘッジを提供する。