[論文レビュー] Dividing by zero - how bad is it, really?

Takayuki Kihara, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Weihrauch還元を用いて、除数がゼロである可能性がある場合に商を計算する「ロバスト除算」の計算的強度を調査する。2段階のネスティングを伴う逐次的使用が、完全な計算的パワーを達成するのに十分であることを示しており、計算可能解析における未解決問題を解決し、ガウスの消去法などの応用を可能にする。

ABSTRACT

In computable analysis testing a real number for being zero is a fundamental example of a non-computable task. This causes problems for division: We cannot ensure that the number we want to divide by is not zero. In many cases, any real number would be an acceptable outcome if the divisor is zero - but even this cannot be done in a computable way. In this note we investigate the strength of the computational problem "Robust division": Given a pair of real numbers, the first not greater than the other, output their quotient if well-defined and any real number else. The formal framework is provided by Weihrauch reducibility. One particular result is that having later calls to the problem depending on the outcomes of earlier ones is strictly more powerful than performing all calls concurrently. However, having a nesting depths of two already provides the full power. This solves an open problem raised at a recent Dagstuhl meeting on Weihrauch reducibility. As application for "Robust division", we show that it suffices to execute Gaussian elimination.

研究の動機と目的

• ゼロ除算の結果として任意の実数を返すロバスト除算の計算的強度を特定すること。
• Weihrauch還元の文脈において、複数回のロバスト除算呼び出しの相互作用に関する未解決問題を解決すること。
• ガウスの消去法を用いた一次方程式の連立系の解法に、ロバスト除算が十分であることを示すこと。
• LLPO や LPO のような古典的で非構成的原理とロバスト除算との間の階層関係を明確にすること。
• 計算可能解析において、ロバスト除算の逐次的使用と並列的使用のどちらがより強力であるかを調査すること。

提案手法

• Weihrauch還元を用いて、ロバスト除算と他の原理との間の計算的パワーを形式的に比較する。
• 除数がゼロのとき、任意の実数を出力する多値関数としてロバスト除算をモデル化する。
• タイプ2機械を用いた実数上の計算可能性を、実現者と代表化された空間を用いて形式化する。
• ピボット係数を計算するために、ゼロの値に対してもロバスト除算を用いることで、ガウスの消去法をロバスト除算に還元する。
• ピボットを絶対値が最大のものに選ぶ原則を適用し、ロバスト除算への計算可能な還元を保証する。
• ケース分岐や符号情報の処理に、補助関数 C_{–} と AoUC を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weihrauch還元において、ロバスト除算の逐次的使用は並列的使用よりも厳密に強力か？
• RQ2 完全な計算的パワーを達成するために必要なロバスト除算の最小ネスティング深さは何か？
• RQ3 ロバスト除算を用いて LU 分解を計算し、ガウスの消去法で一次方程式系を解くことができるか？
• RQ4 Weihrauch格子において、ロバスト除算は LLPO や LPO と比べてどの程度強いか？
• RQ5 ピボット選択を伴う LU 分解の問題は、ロバスト除算に還元可能か？

主な発見

• ロバスト除算は LLPO や LPO よりも厳密に強力であり、Weihrauch格子において明確に分離された中間的位置を占める。
• ロバスト除算を深さ2のネスティングで逐次的に使用するだけで、問題の完全な計算的パワーを達成できる。
• ロバスト除算は、ガウスの消去法による一次方程式系の解法問題と同値である。
• ピボット選択を伴う問題 LU-Decomp_{P,Q} は rDiv* と Weihrauch同値であり、LU-Decomp_Q は rDiv* star rDiv* に還元可能である。
• ガウスの消去法をロバスト除算に還元する過程は、ピボット要素がゼロであっても有効かつ計算可能である。
• B(ε) を用いた反例により、LU 分解がロバスト除算から任意の実数値を抽出できることを示し、その非自明な計算的強度を確認した。