[論文レビュー] Divisibility sequences of polynomials and heights estimates

Bartosz Naskręcki|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

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ひとこと要約

本稿は、任意の特徴を持つ関数体上の楕円整除列における非原始的除因子の数に対して、明示的かつ一様な上界を確立する。シオダの高さ公式と[9]および[19]における最小高さの上限を活用することで、特徴が 0 または p ≥ 5 である関数体上の楕円曲線（正則性および通常性の条件下）に対して、列のほとんどすべての項が原始的評価を持つことを証明する。この上界は、種数、オイラー標跡、あるいは非分離度や体のサイズといった追加の不変量にのみ依存する。

ABSTRACT

In this note we compute a constant $N$ that bounds the number of non--primitive divisors in elliptic divisibility sequences over function fields of any characteristic. We improve a result of Ingram--Mah{\'e}--Silverman--Stange--Streng, 2012, and we show that the constant can be chosen independently of the specific point and to some extent of the specific curve, as predicted in loc. cit.

研究の動機と目的

• 関数体上の楕円整除列における非原始的除因子の数に対する明示的かつ一様な上界を提供することで、[11]における予想を解決すること。
• 正則性や通常性の条件下で、任意の特徴を持つ関数体への非原始的除因子の有限性結果の拡張を図ること。
• 特定の点 P に依存しない境界の導出、および多くの場合、曲線 E に依存しない境界の導出を、先行研究の予測に従って達成すること。
• 野生的または非通常的還元が存在する場合に均一な境界が失敗する理由を分析し、特に [p]-写像の非分離度が p² である場合に無限個の非原始的除因子が生じる構造的特徴を特定すること。

提案手法

• 楕円曲面における標準的高さの明示的公式を用い、点の高さを曲面の幾何に結びつける。
• [9]および[19]における非 torsion 点の最小標準的高さに対する有効な下界を適用し、整除列における高さの増大を制御する。
• シオダ＝タウエの公式を用いて、楕円曲面の特異なファイバーを用いてオイラー標跡 χ(S) を表現する。
• 楕円曲面 S 上の交点論を用い、除因子 DnP の次数を計算し、m < n に対する DmP の次数の和と比較する。
• 点の倍数における x 座標の評価を分析し、特に例において原始的評価を検出する。
• 悪い特異点における成分群の構造を用い、高さペアリングへの局所的寄与を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の楕円整除列における非原始的除因子の数に対して、特定の点 P に依存しない均一な上界を与えることは可能か？
• RQ2 このような上界の存在が、特に正の特徴を持つ底面体の特徴にどのように依存するか？
• RQ3 楕円曲線の条件（例：正則性、通常性、[p]-写像の非分離度）として、このような上界が存在するのに必要な十分条件は何か？
• RQ4 [p]-写像の非分離度が p² である場合に均一な上界が失敗する理由は何か？また、このような場合に無限個の非原始的除因子を生じる曲線の構造的特徴は何か？
• RQ5 種数、オイラー標跡、体のサイズといった不変量を用いて、非原始的除因子の数に対する有効な境界を導出できるか？

主な発見

• 特徴 0 では、底曲線 C の種数にのみ依存する一様な上界 N = N(g(C)) が存在し、すべての n ≥ N に対して DnP が原始的評価を持つ。
• 特徴 0 では、楕円曲面 S のオイラー標跡にのみ依存する上界 N = N(χ(S)) が、すべての n ≥ N に対して DnP の原始的評価を保証する。
• 特徴 p ≥ 5 では、通常性および正則性の条件下で、N = N(g(C), p, r) という明示的な上界が存在し、r は j-不変量写像の非分離度を表す。
• 野生的状況（p ≥ 5、通常、非分離度 p）では、N = N(g(C), χ(S), p, r, s) という上界が存在し、s は体 F_q（q = p^s）の指数を表す。
• [p]-写像の非分離度が p² である場合には上界が失敗する。このような場合、無限個の非原始的除因子を持つ例が構成される。
• F_p(t) 上の曲線 y² = x³ + αx + β において、特異的 E₀ を持つ場合、{D_{p^k P}} の台は ∞ のみであり、すべての k ≥ 1 に対して非原始的である。これは無限個の非原始的項が存在することを示している。