[論文レビュー] Division Algebras and Non-Commensurable Isospectral Manifolds

Alexander Lubotzky, Beth Samuels+1 more|ArXiv.org|Jan 5, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$F = \mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ および $d \geq 3$ の場合、$\mathrm{PGL}_d(F)$ に対して、任意に大きな数のコンパクトで、同スペクトル的かつ非可換な局所的に対称な多様体の族が存在することを示している。この構成は、同じ分岐を示すが異なる不変量を持つ除法代数から得られる算術的格子に依存しており、$L^2$-空間の表現論的同型を活用して同スペクトル性を保証するとともに、可換性を回避する。

ABSTRACT

A. Reid showed that if $Γ_1$ and $Γ_2$ are arithmetic lattices in $G = \operatorname{PGL}_2(\mathbb R)$ or in $\operatorname{PGL}_2(\mathbb C)$ which give rise to isospectral manifolds, then $Γ_1$ and $Γ_2$ are commensurable (after conjugation). We show that for $d \geq 3$ and ${\mathcal S} = \operatorname{PGL}_d(\mathbb R) / \operatorname{PGO}_d(\mathbb R)$, or ${\mathcal S} = \operatorname{PGL}_d(\mathbb C) / \operatorname{PU}_d(\mathbb C)$, the situation is quite different: there are arbitrarily large finite families of isospectral non-commensurable compact manifolds covered by $\mathcal S$. The constructions are based on the arithmetic groups obtained from division algebras with the same ramification points but different invariants.

研究の動機と目的

• ランク 2 とそれ以上のランクにおける同スペクトル的多様体の対比を解消する。具体的には、$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R})$ および $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})$ では可換性が強制されるが、より高いランクではそうではないこと。
• $d \geq 3$ に対して、対称空間 $\mathcal{S} = \mathrm{PGL}_d(F)/K$ を被覆する、明示的な同スペクトル的で非可換なコンパクト多様体の族を構成する。
• 通常は可換な同スペクトル的多様体を生じるが、除法代数の算術的群を用いることで、非可換な例を生成できるように、スナダの方法を拡張すること。
• 高ランクの対称空間では、同スペクトル性が可換性を意味しないことを確立し、ランク 2 の場合の期待とは対照的である。

提案手法

• 同じ分岐集合を持つが異なる不変量を持つグローバル体上の除法代数から算術的格子 $\Gamma_i$ を構成する。
• 群 $G$-加群としての表現論的同型 $\mathrm{L}^2(\Gamma_1 \backslash G) \cong \mathrm{L}^2(\Gamma_2 \backslash G)$ を用いて、商多様体の同スペクトル性を保証する。
• ガロア被覆 $X_0 \to X$ を介してスナダの方法を適用し、部分群 $H_1, H_2 \leq H$ が共役類の交差が等しいことを用いる。
• 環 $R_0$ および $R_{0,T}$ 上の合同部分群 $G'_i(R_0, I)$ を定義し、格子構造を制御し、$L^2$-同型を保証する。
• $\mathrm{L}^2(\Lambda_1 \backslash G(F)) \cong \mathrm{L}^2(\Lambda_2 \backslash G(F))$ が、$U^{(r)}J_i^0$ から構成された離散部分群 $\Lambda_i$ に対して成り立つこと（$[J_1 : J_1^0] = [J_2 : J_2^0]$）を用いて、同スペクトル性を導出する。
• 商 $G'(\mathbb{A}) / \Delta_i G(F) U^{(r)} J_i^0$ が $i$ に依存しないことを利用して、対応する多様体の $L^2$-同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク $d \geq 3$ の高ランクの対称空間 $\mathrm{PGL}_d(F)/K$ において、同スペクトル的で非可換なコンパクト多様体を構成できるか？
• RQ2 高ランクの局所的に対称な多様体において、同スペクトル性は可換性を意味するのか？ランク 2 の場合と同様に？
• RQ3 同じ分岐を示すが異なる不変量を持つ除法代数は、同スペクトル的だが非可換な算術的格子を生成できるか？
• RQ4 群の商 $\mathrm{L}^2(\Gamma_i \backslash G)$ の $L^2$-同型は、対応する多様体の同スペクトル性を保証するのに十分か？
• RQ5 スナダの方法は、共役でない部分群で、共役類の交差サイズが等しいものを使って、非可換な同スペクトル的多様体を生成するために適応可能か？

主な発見

• 任意の $m \in \mathbb{N}$ に対して、$d \geq 3$ である $\mathrm{PGL}_d(F)$ における、$m$ 個の torsion-free かつ cocompact な算術的格子 $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$ が存在し、商 $\Gamma_i \backslash \mathcal{S}$ が同スペクトル的である。
• 構成された多様体は、互いに非可換であり、任意の二つが有限シートの共通被覆を持たない。
• 同スペクトル性は、$G$-表現としての $L^2$-空間の同型 $\mathrm{L}^2(\Gamma_i \backslash G) \cong \mathrm{L}^2(\Gamma_j \backslash G)$ に起因する。
• この構成は、同じ分岐集合だが異なる不変量を持つ除法代数に依存しており、非共役な算術的格子を生じる。
• 合同部分群を環 $R_0$ 上で定義することにより、一般化され、任意の非ゼロイデアル $I \lhd R_0$ に対して $\mathrm{L}^2(G'_1(R_0,I) \backslash G(F)) \cong \mathrm{L}^2(G'_2(R_0,I) \backslash G(F))$ が成り立つ。これにより同スペクトル性が保証される。
• この結果は、ランク 2 におけるリードの定理とは著しく対照的であり、同スペクトル的算術的格子は可換でなければならない。