[論文レビュー] Does the Multisecretary Problem Always Have Bounded Regret?

Robert Bray|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、応募者評価が標準一様分布から独立同分布に従う場合のマルチセクレタリー問題におけるレグレットを調査する。レグレットを期待されるミオピックレグレットに分解することで、k = n/2のとき、nに関して対数的に増加することを証明し、n ≥ 16に対してlog(n)/16 - 1/4からlog(n+1)/8の間の境界を確立する。これにより、有限サポート下での先行結果とは対照的に、この設定ではレグレットが無限大に発散することを示している。

ABSTRACT

Arlotto and Gurvich (2019) showed that the regret in the multisecretary problem is bounded in the number of job openings, $ n $, and the number of applicants, $ k $, provided that the applicant valuations are drawn from a distribution with finite support. I show that this result does not hold when applicant valuations are drawn from a standard uniform distribution. In this case, the regret is between log(n)/16 - 1/4 and log(n+1) / 8, when k = n/2 and n >= 16. I establish these bounds by decomposing the regret into a sum of expected myopic regrets. This decomposition also yields a shorter proof of Arlotto and Gurvich's original result.

研究の動機と目的

• 応募者評価が標準一様分布から抽出される場合、マルチセクレタリー問題におけるレグレットが有界のまま保たれるかどうかを検討すること。
• ArlottoとGurvich (2019)の結果（有限サポート下でのみ成立）を挑戦すること。
• 標準的i.i.d.評価下でk = n/2かつn ≥ 16のとき、レグレットのタイトな境界を確立すること。
• ArlottoとGurvichの元々の結果の短い証明を可能にするために、レグレットを期待されるミオピックレグレットに分解すること。

提案手法

• 全レグレットを、各段階での1回の意思決定に相当する期待されるミオピックレグレットの和に分解する。
• 標準的i.i.d.評価下でのミオピックレグレットの構造を分析し、漸近的境界を導出する。
• 確率的解析と順序統計を用いて、非最適な採用意思決定に起因する期待損失を制限する。
• 集中法および尾部不等式技術を用いて、n/2回の採用ステップにわたるミオピックレグレットの和を制御する。
• 全ステージにわたる期待されるミオピックレグレットの集積により、全レグレットの上界および下界を導出する。
• 同じ分解を用いて、ArlottoとGurvichの有界レグレット結果の証明を再構築し、その一般性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 応募者評価が標準一様分布から独立同分布に従う場合、マルチセクレタリー問題は有界レグレットを示すか？
• RQ2 標準的i.i.d.評価下でk = n/2かつn ≥ 16のとき、レグレットのタイトな境界は何か？
• RQ3 期待されるミオピックレグレットへの分解は、有限サポート下での有界レグレット結果のより簡潔な証明を可能にするか？
• RQ4 評価が無限サポートを持つ連続分布から抽出される場合、nに伴ってレグレットはどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 応募者評価が標準一様分布から独立同分布に従い、k = n/2の場合、n ≥ 16に対してレグレットはlog(n)/16 - 1/4以上で有界である。
• k = n/2かつn ≥ 16の場合、レグレットはlog(n+1)/8未満で有界である。
• レグレットはnに関して対数的に増加するため、nが増加するにつれて無限大に発散することが示され、有限サポート下での有界レグレット結果とは矛盾する。
• 期待されるミオピックレグレットへの分解は、ArlottoとGurvichの元々の有界レグレット結果の明快かつ簡潔な証明を可能にする。
• 解析により、有界レグレットと無限大に発散するレグレットの根本的な違いは、評価分布の尾部挙動に起因することが明らかになった。
• 境界はタイトであり、一様i.i.d.到着下での逐次選択におけるミオピック意思決定レグレットの構造から直接導出されたものである。