[論文レビュー] Domain decomposition algorithms for two dimensional linear Schrödinger equation

Christophe Besse, Feng Xing|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数ポテンシャルおよび一般ポテンシャルに対してそれぞれ2次元線形シュレーディンガー方程式を解く新しい領域分割アルゴリズムとプリコンディショニング付きアルゴリズムを提案する。古典的なロビン条件の代わりに、新規の吸収的透明透過境界条件を導入することで、収束が著しく高速化され、計算時間が大幅に短縮される。数値結果では、大規模な部分領域数において、合計計算時間を最大80%まで削減している。

ABSTRACT

This paper deals with two domain decomposition methods for two dimensional linear Schr{ö}dinger equation, the Schwarz waveform relaxation method and the domain decomposition in space method. After presenting the classical algorithms, we propose a new algorithm for the free Schr{ö}dinger equation and a preconditioned algorithm for the general Schr{ö}dinger equation. These algorithms are studied numerically, which shows that the two new algorithms could accelerate the convergence and reduce the computation time. Besides the traditional Robin transmission condition, we also propose to use a newly constructed absorbing condition as the transmission condition.

研究の動機と目的

• 一般ポテンシャルを有する2次元線形シュレーディンガー方程式に対する領域分割法の収束速度と計算効率を向上させること。
• 部分領域間の伝達条件が最適でないために、古典的シュワーツ波形緩和法（SWR）および空間領域分割法（DDS）の収束が遅い問題を解決すること。
• 定数ポテンシャルの場合の新規アルゴリズムと、一般ポテンシャルに対するプリコンディショニング付きアルゴリズムを、新規の吸収的透明透過境界条件を用いて開発すること。
• 提案手法のロバスト性とスケーラビリティが、メッシュサイズや部分領域数の変化に対しても保たれることを検証すること。
• 新規の透過境界条件が、反復回数と計算時間の両面で従来のロビン条件を上回ることを示すこと。

提案手法

• 定数ポテンシャルを有するシュレーディンガー方程式に対する新規領域分割アルゴリズムを、新しく構築した吸収的透明透過境界条件を用いて提案する。
• 可変ポテンシャルを有する一般シュレーディンガー方程式に対するプリコンディショニング付きアルゴリズムを、同一の吸収的境界条件を透過境界条件として用いて開発する。
• シュワーツ波形緩和法（SWR）および空間領域分割法（DDS）を適用し、時間・空間領域の分割と、部分領域間での反復的更新を実施する。
• 界面問題の導出と解析を行い、新規アルゴリズムの収束特性を正当化する。
• DDS法では半陰的時間離散化を採用し、反復演算子の固有値特性に基づいてプリコンディショナーを定式化する。
• 最大1024個の部分領域を用いた並列計算により、さまざまなメッシュ解像度におけるスケーラビリティと性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新規の吸収的透明透過境界条件は、2次元線形シュレーディンガー方程式に対する領域分割法の収束速度を向上させることができるか？
• RQ2 提案されたプリコンディショニング付きアルゴリズムは、古典的SWRおよびDDS法と比較して反復回数と計算時間の両面で優れているか？
• RQ3 新規アルゴリズムは、部分領域数やメッシュ解像度の変化に対してもロバスト性とスケーラビリティを維持するか？
• RQ4 新規アルゴリズムは、古典的ロビン条件と比較して、透過境界条件のパラメータの選択にどれほど感度を示すか？
• RQ5 提案手法は、単一プロセッサで全問題を解く基準時間（Tref）未満の計算時間に短縮できるか？

主な発見

• プリコンディショニング付きアルゴリズムにより、N=32の部分領域、Δx=1/128、Δy=1/8の設定で反復回数が17回から5回に減少し、収束が著しく向上した。
• 同じ設定で、合計計算時間は古典的手法の12.1秒からプリコンディショニング付き手法の7.3秒にまで短縮され、40%の削減が達成された。
• より細かいメッシュ（Δx=1/2048、Δy=1/64）でも、プリコンディショニング付きアルゴリズムは反復回数がm=5～6に保たれ、N=512の部分領域でも計算時間は270秒未満を維持した。
• 古典的手法では、部分領域数の増加に伴い反復回数が増加（N=256で8回からN=512で12回に）しており、スケーラビリティが著しく劣っているのに対し、プリコンディショニング付き手法は安定した性能を示した。
• プリコンディショニング付きアルゴリズムは、N≥16の範囲で基準時間Tref=16.1秒未満の計算時間を達成しており、強力なスケーラビリティと効率性の向上を示した。
• 新規の吸収的透過境界条件は、ロビン条件やパドエ近似（Padé）といった異なる境界条件タイプやパラメータに対してもロバストであり、チューニングにほとんど感度を示さないことが判明した。