[論文レビュー] Dominating Sets and Connected Dominating Sets in Dynamic Graphs

Niklas Hjuler, Giuseppe F. Italiano+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、辺の挿入および削除を伴うグラフにおける近似最小支配集合（MDS）および最小連結支配集合（MCDS）を維持する、初めての効率的な動的アルゴリズムを提示する。各更新処理において、平均的に $O(\Delta \cdot \text{polylog}~{}n)$ の時間で $O(\log n)$-近似が達成され、動的MISにおける既知の最良の境界と一致する。また、最小支配集合を決定的 $O(\sqrt{m})$ 時間で維持するアルゴリズムも提示する。

ABSTRACT

In this paper we study the dynamic versions of two basic graph problems: Minimum Dominating Set and its variant Minimum Connected Dominating Set. For those two problems, we present algorithms that maintain a solution under edge insertions and edge deletions in time $O(Δ\cdot ext{polylog}~n)$ per update, where $Δ$ is the maximum vertex degree in the graph. In both cases, we achieve an approximation ratio of $O(\log n)$, which is optimal up to a constant factor (under the assumption that $P e NP$). Although those two problems have been widely studied in the static and in the distributed settings, to the best of our knowledge we are the first to present efficient algorithms in the dynamic setting. As a further application of our approach, we also present an algorithm that maintains a Minimal Dominating Set in $O(min(Δ, \sqrt{m}))$ per update.

研究の動機と目的

• ネットワーキングや分散システムで広く使われているにもかかわらず、最小支配集合（MDS）および最小連結支配集合（MCDS）のための効率的な動的アルゴリズムが不足しているという問題に取り組む。
• 静的設定と動的設定の間のギャップを埋めるために、証明可能かつ近似保証を備えた、MDSおよびMCDSのための最初の完全動的アルゴリズムを提供する。
• 動的MISアルゴリズムで達成されている最良の境界、特に平均的に $O(\Delta)$ の時間複雑度を達成する。
• 最小支配集合を決定的に $O(\sqrt{m})$ 時間で維持するアルゴリズムを提示し、従来のMISから導かれる $O(m^{2/3})$ の境界を改善する。

提案手法

• 支配集合 $\mathcal{D}$ を維持するために補助データ構造を用いる：$N_{\mathcal{D}}(u)$ は $u$ を支配する $\mathcal{D}$ 内の頂点の集合であり、$\text{OnlyBy}(v)$ は $v$ を唯一 $v$ によって支配されている頂点の集合である。
• 辺の挿入または削除が発生すると、支配関係の変化を反映するために $N_{\mathcal{D}}(u)$ および $\text{OnlyBy}(v)$ を動的に更新する。
• 予算配分機構を用いる：頂点 $v$ が $\mathcal{D}$ に追加される際、$\text{deg}(v)$ の予算が割り当てられ、将来的な削除コストを均等化する。
• 頂点を $\mathcal{D}$ に挿入する際、可能な限り低次数（$\sqrt{m}$ 以下）の隣接頂点を選択することで、更新コストを $O(\min(\Delta, \sqrt{m}))$ に抑える。
• 辺の削除に対しては、$\mathcal{D}$ 内の頂点 $v$ が最後の支配者を失った場合、新しい支配者が見つかった場合にのみ $v$ を $\mathcal{D}$ から削除する。この新しい支配者は、低次数の隣接頂点を $\mathcal{D}$ に追加することで得る。
• アルゴリズムは各更新処理後に $\mathcal{D}$ が有効な支配集合のまま保たれることを保証し、MDSに対しては $O(\log n)$ の近似比、MCDSに対しては連結性が維持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺の更新に対して、$O(\log n)$-近似解を効率的に維持できる動的アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 多項式対数時間の更新時間と良好な近似比を備えた、動的グラフにおける連結支配集合を維持することは可能か？
• RQ3 最小支配集合を $O(\sqrt{m})$ 時間/更新で決定的に維持することは可能か？ これは従来の $O(m^{2/3})$ の境界を改善するものか？
• RQ4 局所的なデータ構造と償却解析を用いて、支配関係の動的維持をどのように効率的に追跡できるか？

主な発見

• 本稿では、最小支配集合（MDS）のための動的アルゴリズムを提示し、各更新処理で平均的に $O(\Delta \cdot \text{polylog}~{}n)$ 時間で $O(\log n)$-近似を維持する。
• 最小連結支配集合（MCDS）に対しても、同じ $O(\log n)$-近似比と更新時間複雑度を達成する。
• 最小支配集合を維持する決定的アルゴリズムは、各更新処理で $O(\sqrt{m})$ の平均時間で動作し、従来の $O(m^{2/3})$ の境界を改善する。
• 頂点の削除コストを、その頂点が $\mathcal{D}$ に含まれていた際のエッジ数に応じて均等化する予算配分技術を用いる。
• 挿入時の低次数頂点選択により更新コストを制限し、頂点追加処理の時間は $O(\min(\Delta, \sqrt{m}))$ に保証される。
• これらの結果は、MDSおよびMCDSの動的設定において、このような境界を達成する最初のものであり、動的MISの最良の既知の複雑度と一致する。