[論文レビュー] Double Lie algebroids and the double of a Lie bialgebroid

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Aug 17, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、二重リー代数群の概念を導入し、リー双代数群と一致する二重群の両立性を統一する役割を確立する。リー双代数群の二重余接 bundle が二重リー代数群をなすことを証明し、逆に、二重余接 bundle に二重リー代数群構造があるならば、元の構造がリー双代数群であることを示し、マンイン三重定理のリー代数群版を提供する。空の二重リー代数群は、誘導された作用を通じて一致する二重群のリー代数群と同値であることが示される。

ABSTRACT

We define a general notion of abstract double Lie algebroid. We show (1) that the double Lie algebroid of a double Lie groupoid is a double Lie algebroid in this sense; (2) that the double cotangent constructed from Lie algebroid structures on a vector bundle A and its dual A* is a double Lie algebroid if and only if (A, A*) is a Lie bialgebroid; (3) that a vacant double Lie algebroid structure is equivalent to a matched pair structure on the side Lie algebroids.

研究の動機と目的

• 二重リー代数群の抽象的概念を定義し形式化すること。
• リー双代数群の二重余接を二重リー代数群として構成し、マンイン三重定理のリー代数群版を提供すること。
• 空の二重リー代数群が誘導された作用を通じて一致する二重群のリー代数群と正確に一致することを示すこと。
• 二重リー群、リー双代数群、および一致する二重群の構造を、互いに適合するリー代数群構造を持つ二重ベクトルバンドルの共通枠組みの下で統一すること。

提案手法

• リー双代数群の二重余接バンドルを、二つの適合するリー代数群構造を持つ二重ベクトルバンドルとして構成する。
• 二重ベクトルバンドルの接続および余接構造を用いて双対とペアリングを定義し、$T^*A$ と $T^ullet A$ の間に自然な同型写像を確立する。
• コアおよび双対バンドルの概念を用いて、二重ベクトルバンドルの垂直および水平双対を定義する。
• 微分形式のリー微分と括弧恒等式を分析することで、二重のリー代数群構造の適合条件を導出する。
• 作用を伴うリー代数群の概念を適用し、空の二重リー代数群が、互いに作用する二重群のリー代数群から生じることを示す。
• 水平および垂直双対のペアリングを用いて、リー双代数群を特徴付けるために不可欠な、自然な同型写像 $R$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重ベクトルバンドルが二重リー代数群であるためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ2 リー双代数群の二重余接がどのように二重リー代数群を生じるのか、そしてこの構成の意義は何か？
• RQ3 二重余接バンドルに二重リー代数群構造がある場合、元のバンドルにリー双代数群構造が存在するための条件は何か？
• RQ4 空の二重リー代数群と一致する二重群のリー代数群の関係は何か？
• RQ5 二重リー代数群の枠組みは、群の場合と同様に、一致する二重群の図式的特徴付けを提供できるか？

主な発見

• リー双代数群の二重余接は二重リー代数群であり、この構成はマンイン三重定理のリー代数群版を提供する。
• 二重余接バンドルに二重リー代数群構造があるのは、元の双対リー代数群構造のペアがリー双代数群をなすときであり、かつそのときに限る。
• 空の二重リー代数群は、二つの側のリー代数群が互いに作用する構造を通じて、一致する二重群のリー代数群と同値である。
• $A \oplus B$ 上の二重リー代数群構造は、二重の適合するリー代数群構造から直接導出可能であり、半直積リー代数群の新しい構成を提供する。
• この枠組みにより、群の場合と同様に、水平および垂直双対のペアリングと自然同型写像 $R$ を用いて、一致する二重群のリー代数群の純粋な図式的特徴付けが可能になる。
• 本稿は、空の二重リー代数群に関連するリー双代数群が $({\frak g} \oplus {\frak g}_0, {\frak g}^* \oplus {\frak g}^*_0)$ であることを確認しており、下付きの添え字はアーベル化を表し、バイ代数の場合と整合的である。