[論文レビュー] `Double modules', double categories and groupoids, and a new homotopical double groupoid

Ronald Brown|ArXiv.org|Mar 15, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、相対ホモトピー群の整合性を保証する条件のもとで、位相空間 $X$ 及びその部分空間 $A$、$B$、および $A \cap B$ に値をとる基点集合 $C$ をもつ三重対 $(X,A,B,C)$ から、ホモトピー的二重群コホモロジーの新しい構成を提示する。この構成は『二重モジュール』を用いて二重群コホモロジーを一般化し、立方体的接続およびホモトピーの上昇性を用いて、対称的かつ双方向の合成と交換法則を満たす二重群コホモロジー構造を確立する。この構造は、$\rho_2(X,A,c)$ および $\rho_2(X,B,c)$ の両方を符号化する。

ABSTRACT

We give a rather general construction of double categories and so, under further conditions, double groupoids, from a structure we call a `double module'. We also give a homotopical construction of a double groupoid from a triad consisting of a space, two subspaces, and a set of base points, under a condition which also implies that this double groupoid contains two second relative homotopy groups.

研究の動機と目的

• 交差モジュールおよび群コホモロジーからの二重群コホモロジーの構成を、'二重モジュール'を用いたより広範な枠組みへ一般化すること。
• 位相空間 $X$ 及びその部分空間 $A$、$B$、および $A \cap B$ に値をとる基点 $C$ をもつ三重対から、新しいホモトピー的二重群コホモロジーを構成すること。
• 各 $c \in C$ に対して、$\pi_2(X,A,c)$ および $\pi_2(X,B,c)$ の両方の相対ホモトピー群を含む整合性条件のもとで、二重群コホモロジーがそれらを符号化することを保証すること。
• 立方体的単体的集合および接続を用いて、この新しい二重群コホモロジーにおける交換法則および群コホモロジーの公理を確立すること。

提案手法

• 共通の基底 $P$ をもつ三つの圏 $M$、$H$、$V$ をもち、$H$ および $V$ が $M$ に作用する『二重モジュール』構造から二重圏を構成する。
• 群コホモロジーに類似した作用を用いて、正方形 $(m:u^a_c v)$ の水平および垂直合成をそれぞれ $m^d n$ および $p m^y$ として定義する。
• 境界方程式および幾何的整合性から導かれる、交換法則の条件 $m^{yf} q = q m^{dz}$ を課す。
• ホモトピー的穴を埋めるために、立方体的単体的集合 $S^\square(X)$ および接続 $\Gamma^\pm_i$ を適用し、高次ホモトピーを構成する。
• 相対頂点ホモトピーおよび縮約技術を用いて、写像を二重群コホモロジー構造へ変形する。
• 接続を用いて合成の定義が適切に保たれることを示し、基本群コホモロジーとの類推により二重群コホモロジーの公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『二重モジュール』のような代数的構造から、どのようにして二重群コホモロジーを体系的に構成できるか。
• RQ2 $C \subseteq A \cap B$ である三重対 $(X,A,B)$ が、適切に定義された二重群コホモロジーをもたらすための位相的条件は何か。
• RQ3 二重群コホモロジーを、$\pi_2(X,A,c)$ および $\pi_2(X,B,c)$ の両方の相対ホモトピー群を同時に符号化するように構成できるか。
• RQ4 立方体的接続およびホモトピーの上昇性は、新しい二重群コホモロジーにおける交換法則をどのように保証するか。
• RQ5 この新しい二重群コホモロジーと、交差モジュールや cat-2-群に基づく従来の構成との関係は何か。

主な発見

• 三重対 $(X,A,B,C)$ に対して、$c \in C$ に対して $\pi_2(A,c) \to \pi_2(X,c)$ および $\pi_2(B,c) \to \pi_2(X,c)$ の像が一致する限り、新しい二重群コホモロジー $\rho X_*$ が構成可能である。
• 得られる二重群コホモロジーは、各 $c \in C$ に対して、$\pi_2(X,A,c)$ および $\pi_2(X,B,c)$ の両方の相対ホモトピー群を部分構造として含む。
• 立方体的接続 $\Gamma^\pm_i$ の使用により、定数ホモトピーおよび縮約を用いてホモトピー的穴を埋められることから、交換法則が成立する。
• 合成が $m^d$ および $m^y$ の作用を用いて定義されるため、群コホモロジーの公理を満たし、整合性が保たれる。
• 条件 (Conn) は非自明であり、$C$ が単一の点であっても、$\rho X_*$ が二重群コホモロジーであるためには不可欠である。
• 本構成は、[BH78] の先行研究を一般化し、従来の相対ホモトピー群を凌駕する対称的かつ双方向の2次元ホモトピーの枠組みを提供する。