[논문 리뷰] Doubly probabilistic representation for the stochastic porous media type equation

Viorel Barbu, Michael Röckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일차원 공간에서 다중성(colored) 잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식의 해에 대해 이重확률적 표현을 제안한다. 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 랜덤 계수를 가진 법칙에 대한 확률적 미분 방정식을 구성함으로써, 저자들은 해의 법칙과 비선형 확산 과정 사이의 연결을 수립하여, 특이 비선형성과 함께 무한체적에서 이러한 방정식을 분석하기 위한 새로운 확률적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The purpose of the present paper consists in proposing and discussing a doubly probabilistic representation for a stochastic porous media equation in the whole space R^1 perturbed by a multiplicative coloured noise. For almost all random realizations $\\omega$, one associates a stochastic differential equation in law with random coefficients, driven by an independent Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 무한체적에서 다중성 색잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식에 대한 확률적 표현을 개발하기 위해.
• 기존의 이중 확률적 방법을 결정론적 경우에서 랜덤 계수를 가진 확률적 설정으로 확장하기 위해.
• 해의 법칙과 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 랜덤 계수를 가진 법칙에 대한 비선형 SDE 사이의 연결을 수립하기 위해.
• 특이 비선형성과 다중성 잡음을 포함한 $L^1(\mathbb{R})$에서의 해를 분석하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 최소한의 정규성 가정 하에 이전의 확률적 표현 결과를 비가역적 및 특이 케이스로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 거의 모든 $\omega$에 대해, 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 랜덤 계수를 가진 법칙에 대한 확률적 미분 방정식을 연결함으로써 이중 확률적 표현을 제안한다.
• 확률적 다孔성 매체 방정식의 해를 비선형 법칙에 대한 SDE를 만족하는 과정 $Y_t$의 법칙으로 정의한다: $Y_t = Y_0 + \int_0^t \Phi(u(s,Y_s)) dB_s$, 여기서 $u(t,\cdot)$는 $Y_t$의 밀도이다.
• 티에체의 확장 정리(Tietze’s extension theorem)를 통한 정규화 및 근사화 계획을 사용하여 랜덤 필드 $F$의 측정 가능한 근사값 $F_{n,k}$를 구성한다.
• 수렴의 기대값과 표현의 타당성을 검증하기 위해, 수열 $Q^{\kappa_\ell}$을 통한 측도의 약한 수렴을 적용한다.
• 소음의 구조인 $\mu(t,\xi) = \sum_{i=1}^N e^i(\xi)W^i_t + e^0(\xi)t$를 활용하여 방정식 내 다중성 색잡음을 모델링한다.
• 해의 유일성을 약한 조건 하에 증명한다: $\psi$는 리프시츠 연속성이고, 해에 대한 적분 가능성 조건이 만족된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 색잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식에 대해 $\mathbb{R}$에서 이중 확률적 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 확률적 PDE의 해는 어떤 방식으로 랜덤 계수를 가진 법칙에 대한 비선형 SDE의 법칙으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 무한체적 설정에서 이러한 확률적 표현의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 결정론적 경우에서의 이전 결과를 어떻게 랜덤 계수를 가진 확률적 설정으로 확장하는가?
• RQ5 랜덤 필드 $\mu(t,\xi)$는 해의 확률적 구조에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathbb{R}$에서 다중성 색잡음이 있는 확률적 다孔성 매체 방정식에 대해 이중 확률적 표현을 수립하여, 해의 법칙과 랜덤 계수를 가진 비선형 법칙에 대한 SDE 사이의 연결을 맺었다.
• 거의 모든 $\omega$에 대해, 해는 $Y_t = Y_0 + \int_0^t \Phi(u(s,Y_s)) dB_s$를 만족하는 과정 $Y_t$의 법칙으로 표현되며, 여기서 $B$는 잡음과 독립적인 브라운 운동이다.
• 이 방법은 티에체의 확장 정리를 통한 랜덤 필드의 측정 가능한 근사와 측도의 약한 수렴을 통해 표현의 타당성을 보장한다.
• 해의 유일성은 최소한의 가정 하에 증명되었으며, $\psi$는 리프시츠이고, 해는 $\mathbb{E}\left[\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} X^2(s,\xi) d s d \xi\right] < \infty$를 만족한다.
• 이전의 결정론적 확률적 표현 결과를 비가역적 및 특이 비선형성까지 포함하는 확률적 케이스로 일반화하였다.
• 프레임워크는 $\psi$가 비가역적 및 가역적 케이스 모두에 적용되며, $\psi(u) = \Phi^2(u)u$ for $u \geq 0$이고, $\psi$가 $\mathbb{R}_+$에서 연속적이고 단조 증가함을 허용한다.