[論文レビュー] Dual graded graphs for Kac-Moody algebras

Thomas Lam, Mark Shimozono|ArXiv.org|Feb 5, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のカク＝ムーディ代数に対して、Weyl群を頂点集合として用い、旗多様体およびアフィン・グラスマンニアン空間のコhomologyとホモロジーにおけるシューベルト計算から得られるラベルを用いて、二重順序付きグラフ $(\Gamma_s, \Gamma_w)$ を構成する。主な貢献は、ロビンソン＝シュエンステッドおよびサガン＝ワーリーの挿入を一般化する統一的な組合せ的枠組みを提供することであり、ルスティグのクイバー構成を介して折りたたみ挿入および混合挿入を含み、パラボリック商における分配的ラティス構造を同定することにある。

ABSTRACT

Motivated by affine Schubert calculus, we construct a family of dual graded graphs $(Γ_s,Γ_w)$ for an arbitrary Kac-Moody algebra $\g(A)$. The graded graphs have the Weyl group $W$ of $\g(A)$ as vertex set and are labeled versions of the strong and weak orders of $W$ respectively. Using a construction of Lusztig for quivers with an admissible automorphism, we define folded insertion for a Kac-Moody algebra and obtain Sagan-Worley shifted insertion from Robinson-Schensted insertion as a special case. Drawing on work of Stembridge, we analyze the induced subgraphs of $(Γ_s,Γ_w)$ which are distributive posets.

研究の動機と目的

• 任意のカク＝ムーディ代数に対して、Weyl群を頂点集合として用いることで、二重順序付きグラフの理論を拡張すること。
• シューベルト計算におけるコホモロジーおよびホモロジーのシューベルトクラスに由来するチーアベリ係数によるラベルを用いて、二重順序付きグラフ $(\Gamma_s, \Gamma_w)$ を構成すること。
• 折りたたみ挿入および混合挿入アルゴリズムを用いて、ロビンソン＝シュエンステッドおよびサガン＝ワーリーのシフト挿入を一般化すること。
• 誘導部分グラフ $(\Gamma_s, \Gamma_w)$ が分配的ラティスをなす条件を同定し、テーブル式の埋め込み解釈を可能にすること。

提案手法

• Weyl群 $W$ の強い順序と弱い順序を用いて、二重順序付きグラフ $(\Gamma_s, \Gamma_w)$ を定義し、シューベルト計算におけるチーアベリ係数から得られるラベルを用いる。
• 非単純型代数を単純型代数に還元するため、ルスティグの対称一般化Cartan行列と適切な自己同型の構成を活用する。
• カク＝ムーディ代数に対して折りたたみ挿入を導入し、アフィン型 $A_{n-1}^{(1)}$ の場合にサガン＝ワーリーのシフト挿入が特別な場合として回復されることを示す。
• 自己同型のペアを用いて混合挿入を定義し、ヘイマンのシュエンステッド挿入の変種を一般化する。
• プロクターおよびステムブリッジの分類を応用して、弱い順序またはブルア順序が分配的ラティスをなすパラボリック商 $W_J$ を同定する。
• 二重順序付きグラフ構造を用いて、強いテーブル式および弱いテーブル式をチェーンとして定義し、生成関数がシューベルトクラスを表す可能性があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のカク＝ムーディ代数に対して、Weyl群を頂点集合として用いることで、二重順序付きグラフを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 $\Gamma_s$ および $\Gamma_w$ のラベルが、シューベルト計算からのチーアベリ係数をどのように符号化するか？
• RQ3 自己同型を伴うルスティグのクイバー構成は、二重順序付きグラフ枠組みにおいて非単純型カク＝ムーディ代数を単純型に還元するためにどのように機能するか？
• RQ4 折りたたみ挿入および混合挿入は、サガン＝ワーリーのシフト挿入のような古典的挿入アルゴリズムを一般化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 どのパラボリック商 $W_J$ が弱い順序またはブルア順序において分配的ラティス構造をもたらし、テーブル式の解釈を可能にするか？

主な発見

• 任意のカク＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}$ に対して、二重順序付きグラフ $(\Gamma_s, \Gamma_w)$ が構成され、$\Gamma_w$ はWeyl群 $W$ の左の弱い順序、$\Gamma_s$ は強いブルア順序によりラベル付けされる。
• アフィン型 $A_{n-1}^{(1)}$ の場合、以前のラポワントとモーゼの研究で得られた二重順序付きグラフが回復され、半標準的強いテーブル式および弱いテーブル式の生成関数がアフィン・グラスマンニアンにおけるシューベルトクラスを表す。
• 代数 $\mathfrak{g}$ がアフィン型であり、$K = K_{\text{can}}$ のとき、グラフ $\Gamma_w(K)$ はホモロジーのシューベルトクラス $\xi_w \in H_*(\text{Gr})$ を符号化し、$\Gamma_s(\Lambda)$ はコホモロジークラス $\xi^w \in H^*(G/B)$ を符号化する。これにより、組合せ的双対性が確立される。
• タイプ $C_n^{(1)}$ に対して、タイプ $A_{2n-1}^{(1)}$ への還元を介してシュエンステッド型の双対写像が得られ、$n \to \infty$ の極限でサガン＝ワーリーのシフト挿入が回復される。
• パラボリック商 $W_J$ に対応する誘導部分グラフ $P^J$ および $Q^J$ は、$W_J$ の弱い順序またはブルア順序が分配的ラティスである場合に限り、分配的ラティスとなる。これは、プロクターおよびステムブリッジの分類を一般化する。
• 分配的ラティスの場合、強いテーブル式および弱いテーブル式は、標準ヤングテーブル式に類似した細胞への数の埋め込みとして解釈可能であり、シューベルトクラスの組合せ的モデルを提供する。