[論文レビュー] Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: Orlicz $\varphi$-radial addition, Orlicz $L_{\phi}$-dual mixed volume and related inequalities

Deping Ye|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、関数 φ による Orlicz ϕ-径向加法を定義し、線形 Orlicz ϕ-径向加法を用いて Orlicz Lφ-双対混合体積を導出し、星体に対する双対 Orlicz-Brunn-Minkowski 理論を提唱する。主な不等式として、双対 Orlicz-Minkowski 不等式、双対 Orlicz等周不等式、および双対 Orlicz-Urysohn 不等式を確立し、生成関数 φ が厳密な凸性・凹性を満たす仮定のもとで、等号成立条件が原点対称なユークリッド球に特徴づけられることを示す。

ABSTRACT

This paper develops basic setting for the dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory for star bodies. An Orlicz $\varphi$-radial addition of two or more star bodies is proposed and related dual Orlicz-Brunn-Minkowski inequality is established. Based on a linear Orlicz $\varphi$-radial addition of two star bodies, we derive a formula for the Orlicz $L_{\phi}$-dual mixed volume. Moreover, a dual Orlicz-Minkowski inequality for the Orlicz $L_{\phi}$-dual mixed volume, a dual Orlicz isoperimetric inequality for the Orlicz $L_{\phi}$-dual surface area and a dual Orlicz-Urysohn inequality for the Orlicz $L_{\phi}$-harmonic mean radius are proved.

研究の動機と目的

• 星体の文脈における双対 Orlicz-Brunn-Minkowski 理論の基礎的枠組みを構築すること。
• 古典的径向加法を一般化する、星体に対する新しい演算である Orlicz ϕ-径向加法を定義すること。
• 線形 Orlicz ϕ-径向加法を用いて Orlicz Lφ-双対混合体積を確立すること。
• 古典的不等式（Minkowski 第一不等式、等周不等式、Urysohn 不等式）を双対 Orlicz 形式に拡張すること。
• これらの不等式における等号成立条件を同定し、等号が成り立つのは、関与する体がスケーリングされたもの、または厳密な凸性・凹性を満たす関数 φ のもとで原点対称なユークリッド球である場合に限ることを示すこと。

提案手法

• 関数 φ ∈ ˜Φ2 と関数 Fϕ(x1, x2) = ϕ(x1−1/n, x2−1/n) の関連凸性条件を用いて、2つ以上の星体に対する Orlicz ϕ-径向加法を提案する。
• 線形 Orlicz ϕ-径向加法を用いて Orlicz Lφ-双対混合体積を導出し、古典的双対混合体積を一般化する。
• 星体の径向関数に Jenson の不等式を適用し、Orlicz Lφ-双対混合体積を含む不等式を導出する。
• Orlicz Lφ-双対表面積を neVφ(K, Bn₂) として定義し、φ(1/ρK(u)) を含む単位球面上の積分として Orlicz Lφ-調和平均半径を定義する。
• 双対 Orlicz-Minkowski 不等式を中心的な道具として用い、等周不等式および Urysohn 型不等式を導出する。
• 体積正規化径向関数と球面積分を用いて、異なる星体間の混合体積および表面積を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 φ が非斉次関数である場合に、星体に対する古典的双対 Brunnn-Minkowski 理論を Orlicz 型加法によってどのように拡張できるか。
• RQ2 凸性を保ちつつ双対 Orlicz 不等式の導出を可能にする、正しい径向加法の一般化とは何か。
• RQ3 線形 Orlicz ϕ-径向加法を用いて、Orlicz Lφ-双対混合体積をどのように定義・特徴づけられるか。
• RQ4 古典的 Minkowski 第一不等式、等周不等式、Urysohn 不等式の双対 Orlicz 形式とは何か。
• RQ5 双対 Orlicz 不等式における等号成立条件は何か。また、そのときどのような幾何的特徴が得られるか。

主な発見

• 双対 Orlicz-Brunn-Minkowski 不等式が成り立つ：φ ∈ ˜Φ2 かつ Fϕ が凸であるとき、ϕ( (|K e+ϕ L|/|K|)^{1/n}, (|K e+ϕ L|/|L|)^{1/n} ) ≤ 1 が成り立ち、等号成立は K と L がスケーリングされたものである場合に限る。
• 双対 Orlicz-Minkowski 不等式が確立された：φ ∈ Φ で F(t) = φ(t^{-1/n}) が凸であるとき、eVφ(K, L) ≥ |K| · φ(|K|^{1/n} |L|^{-1/n}) が成り立ち、等号成立は K と L がスケーリングされたものである場合に限る。
• 双対 Orlicz等周不等式は、φ ∈ Φ に対して eSφ(K) ≥ eSφ(BK) を示し、F が厳密に凸であるとき、等号成立は K が原点対称なユークリッド球である場合に限る。
• φ ∈ Ψ に対して、双対 Orlicz等周不等式は eSφ(K) ≤ eSφ(BK) を与え、F が厳密に凹であるとき、等号成立は K が原点対称なユークリッド球である場合に限る。
• 双対 Orlicz-Urysohn 不等式は、φ ∈ Φ に対して eωφ(K) ≥ eωφ(BK) を示し、F が厳密に凸であるとき、等号成立は K が原点対称なユークリッド球である場合に限る。
• φ(t) = t^p のとき、Orlicz Lφ-双対表面積は eSp(λK) = λ^{n+p} eSp(K) を満たし、古典的スケーリング法則が Orlicz 框組みへと拡張される。