[論文レビュー] Dual Raviart-Thomas mixed finite elements

François Dubois|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2次元ポアソン方程式に対するPetrov-Galerkin有限体積法を提案する。双対Raviart-Thomas混合有限要素法を用い、スカラー未知数は区分的定数であり、運動量は最低次のRaviart-Thomas要素で近似される。安定性と最適収束性は、2パラメータの双対基底関数族によって保証され、各辺に対して6つの三角形からなるスティンプルが局所的保存性と一貫性のある離散勾配の再構成を可能にする。

ABSTRACT

For an elliptic problem with two space dimensions, we propose to formulate the finite volume method with the help of Petrov-Galerkin mixed finite elementsthat are based on the building of a dual Raviart-Thomas basis.

研究の動機と目的

• 2次元ポアソン方程式の有限体積法を、混合有限要素式とPetrov-Galerkin変分原理を組み合わせることで開発すること。
• 運動量未知数のための双対Raviart-Thomas基底を構築することで、局所的保存性と一貫性のある離散勾配を確保すること。
• 得られる有限体積スキームの安定性と最適収束性を保証する十分条件を確立すること。
• 有限体積法の数学的定式化と混合有限要素理論の橋渡しをすること、特にボックススキームとinfsup条件との関係に注目すること。
• 平面全体 $ \mathbb{R}^2 $ の場合に明示的な補間関数を構築するための枠組みを提供することにより、さらなる安定性解析を可能にする。

提案手法

• 本手法は、スカラー解 $ u $ が $ L^2 $ に属し、運動量 $ p = \nabla u $ が $ H({\rm div}, \Omega) $ に属する、積空間 $ V = L^2(Ω) \times H({\rm div}, \Omega) $ を用いた混合変分式に基づく。
• 離散空間は、各三角形内で定数である $ L_{\cal T}^2(\Omega) $ と、ベクトル場の運動量に最低次のRaviart-Thomas要素を用いた $ H_{\cal T}({\rm div}, \Omega) $ として定義される。
• テスト関数は双対Raviart-Thomas基底から導かれるPetrov-Galerkin変分式が導入され、スキームのための2パラメータ族の可能な基底関数が得られる。
• 離散勾配作用素は、各辺を囲む6つの三角形のスティンプル上で構築され、局所的保存性と一貫性のある勾配の再構成が保証される。
• 双対基底に依存する十分条件のもとで安定性が証明され、スキームは解の存在と一意性を保証するためのinfsup条件を満たすことが示された。
• 各三角形に対して保存則を統合し、Raviart-Thomas基底関数を用いてフラックスを計算することで、バランスを強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量のための双対Raviart-Thomas基底に基づくPetrov-Galerkin混合有限要素に基づく有限体積法は、どのように定式化できるか？
• RQ2 このような混合有限体積スキームの安定性と最適収束性を保証する条件は何か？
• RQ3 三角形メッシュにおいて、各辺に対して6つの三角形からなるスティンプル上で、離散勾配作用素を一貫して再構成する方法は何か？
• RQ4 2パラメータ族の双対Raviart-Thomas基底関数が、安定かつ収束するスキームを構築する上で果たす役割は何か？
• RQ5 この定式化はボックススキームや既存の混合有限要素理論とどのように関係し、数学的整合性と保存性の観点からどのように一致するか？

主な発見

• 提案されたPetrov-Galerkin有限体積スキームは、Raviart-Thomas基底関数を用いて各三角形要素上で運動量方程式を統合することで、フラックスの局所的保存性を確保する。
• 双対Raviart-Thomas基底に依存する十分な安定性仮定のもとで、最適収束率が達成される。この基底は2つの自由係数でパラメータ化される。
• 離散勾配作用素は、各辺に対して6つの三角形からなるスティンプル上で構築され、勾配場の一貫性と保存性のある再構成が可能になる。
• この手法は、混合式の適切な定式化を保証するためのinfsup条件を満たしており、離散空間内に一意な解が存在することが保証される。
• 安定性のための十分条件が導出され、その条件は双対Raviart-Thomas基底の選択に依存する。また、この手法は連続変分問題と一貫していることが示された。
• この枠組みにより、$ \Omega = \mathbb{R}^2 $ の場合に明示的な補間関数の構築が可能となり、さらなる安定性解析と実装への道が開かれる。