[논문 리뷰] Dualising complexes and twisted Hochschild (co)homology for noetherian Hopf algebras

Kenneth A. Brown, James J. Zhang|ArXiv.org|2006. 03. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Noetherian AS-Gorenstein 호프 대수에서, 쌍대 조화 복합체가 대수의 회전 이동(shift)과 동형이 되며, 이 회전은 Nakayama 자동형사상 $\nu = S^2\xi$에 의해 결정됨을 증명한다. 여기서 $S$는 반대항, $\xi$는 왼쪽 적분으로부터 유도된 왼쪽 땅다리 자동형사상이다. 핵심 결과는 비가환적 환경으로 일반화된 회전된 Poincaré 이중성: $H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A,{}^{\nu}M)$이며, 상위 차원 $d$에서 비영인 호모로지와 코호모로지가 존재한다.

ABSTRACT

We show that many noetherian Hopf algebras A have a rigid dualising complex R with R isomorphic to ^νA^1 [d]. Here, d is the injective dimension of the algebra and νis a certain k-algebra automorphism of A, unique up to an inner automorphism. In honour of the finite dimensional theory which is hereby generalised we call νthe Nakayama automorphism of A. We prove that ν= S^2\XXi, where S is the antipode of A and \XXi is the left winding automorphism of A determined by the left integral of A. The Hochschild homology and cohomology groups with coefficients in a suitably twisted free bimodule are shown to be non-zero in the top dimension d, when A is an Artin-Schelter regular noetherian Hopf algebra of global dimension d. (Twisted) Poincare duality holds in this setting, as is deduced from a theorem of Van den Bergh. Calculating νfor A using also the opposite coalgebra structure, we determine a formula for S^4 generalising a 1976 formula of Radford for A finite dimensional. Applications of the results to the cases where A is PI, an enveloping algebra, a quantum group, a quantised function algebra and a group algebra are outlined.

연구 동기 및 목표

• 양자 함수 대수의 Hochschild 코호모로지에서 발생하는 '차원 감소 현상'을 비틀림 계수를 도입하여 해결하기 위해.
• 쌍대 조화 복합체를 통해 Frobenius 대수에서의 고전적 Nakayama 자동형사상 구조를 Noetherian 호프 대수로 일반화하기 위해.
• Van den Bergh의 이중성 정리를 이용하여 Artin-Schelter 정규 호프 대수에 대해 비틀림 Poincaré 이중성을 수립하기 위해.
• 양자군과 군 대수를 포함한 다양한 호프 대수 클래스에 대해 $\nu = S^2\xi$로 명시적으로 Nakayama 자동형사상을 계산하기 위해.
• 다중순환-유한 군에 대해 $S^4$의 일반 공식을 인접 추적(trace)에 따라 유도하여 Radford의 1976년 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• Noetherian AS-Gorenstein 호프 대수에 대해, 전역 차원 $d$와 $k$-대수 자동형사상 $\nu$를 사용하여, $R \cong {}^{\nu}A^1[d]$ 형태의 강력한 쌍대 조화 복합체 $R$를 구성한다.
• Nakayama 자동형사상 $\nu$를 $S^2\xi$로 정의하며, 여기서 $S$는 반대항이고 $\xi$는 왼쪽 적분 $\int^l_A \cong \mathrm{Ext}^d_A({}_A k, {}_A A)$로부터 유도된 왼쪽 땅다리 자동형사상이다.
• Van den Bergh의 이중성 정리를 활용하여 비틀림 Poincaré 이중성을 유도한다: $H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A,{}^{\nu}M)$, 이는 $A$가 전역 차원 $d$에서 AS-정규일 때 성립한다.
• 주요 클래스에 대해 $\nu$를 명시적으로 계산한다: PI 대수, 환위 대수, 양자군, 양자 함수 대수, 군 대수.
• 다중순환-유한 군 $G$에 대해 군 대수 $kG$의 경우, 인접 추적 $\mathrm{T}_k(g) = \prod_i \det(\tilde{g}_i)$를 정의하고, $\nu(g) = \mathrm{T}_k(g)g$임을 보여 $\nu$가 대각화 가능함을 증명한다.
• 인접 추적에 따라 $S^4$의 일반 공식을 유도하며, 이는 Radford의 1976년 유한 차원 호프 대수에 대한 공식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathcal{O}_q(SL(2))$의 Hochschild 코호모로지에서 발생하는 '차원 감소 현상'을 비틀림 계수를 통해 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 Noetherian AS-Gorenstein 호프 대수에 대해 강력한 쌍대 조화 복합체의 구조는 무엇이며, Nakayama 자동형사상과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 Artin-Schelter 정규성을 만족하는 비가환 호프 대수에 대해 비틀림 Poincaré 이중성을 수립할 수 있는가?
• RQ4 Nakayama 자동형사상 $\nu$의 명시적 형태는 반대항 $S$와 왼쪽 땅다리 자동형사상 $\xi$에 의해 어떻게 기술되는가?
• RQ5 다중순환-유한 군 $G$의 인접 추적은 그 군 대수 $kG$의 Nakayama 자동형사상에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• Noetherian AS-Gorenstein 호프 대수 $A$의 전역 차원이 $d$일 때, 강력한 쌍대 조화 복합체는 $R \cong {}^{\nu}A^1[d]$를 만족하며, 여기서 $\nu = S^2\xi$는 Nakayama 자동형사상이다.
• 비틀림 Hochschild 호모로지 $H_d(A, A^\nu) \cong Z(A) \neq 0$이므로, 비틀림 Hochschild 차원 $\mathrm{tHdim}\, A = d$이다.
• 비틀림 Hochschild 코호모로지 $H^d(A, {}^{\nu}A) \cong A/[A,A] \neq 0$이므로, 비틀림 Hochschild 코차원 $\mathrm{tHcdim}\, A = d$이다.
• 비틀림 Poincaré 이중성은 성립한다: 모든 $A$-이중모듈러스 $M$과 모든 $i$에 대해 $H^i(A,M) \cong H_{d-i}(A, {}^{\nu}M)$이며, 이는 Van den Bergh의 이중성 정리의 결과이다.
• 다중순환-유한 군의 군 대수 $kG$에 대해, Nakayama 자동형사상은 $\nu(g) = \mathrm{T}_k(g)g$로 주어지며, 여기서 $\mathrm{T}_k$는 $\{\pm1\}$ 값을 갖는 인접 추적이다.
• 군 대수 $kG$의 적분 순서는 1 또는 2이며, $S^4$는 인접 추적에 의해 결정되며, 이는 Radford의 1976년 공식을 일반화한다.