[論文レビュー] Duality between Lagrangian and Legendrian invariants

Tobias Ekholm, Yankı Lekili|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ホロモーフィック曲線の数え上げによって構成されるねじれコチェーンを用いて、ワイターマン多様体内の正確なラグランジュ被覆 $L$ のフロアコhomology $CF^*(L)$ と、リークノフ部分多様体 $λ$ のシェカノフ＝エリアシベルグ微分複体代数 $CE^*(\Lambda)$ の間に、コシュール双対性を確立する。単純接続性の仮定の下で、双対性は $CE^*(\Lambda) \simeq \Omega CF_*(L)$ を意味し、古典的コシュール双対性を一般化し、シンプレクティック位相幾何における計算の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

Consider a pair $(X,L)$, of a Weinstein manifold $X$ with an exact Lagrangian submanifold $L$, with ideal contact boundary $(Y,Λ)$, where $Y$ is a contact manifold and $Λ\subset Y$ is a Legendrian submanifold. We introduce the Chekanov-Eliashberg DG-algebra, $CE^{\ast}(Λ)$, with coefficients in chains of the based loop space of $Λ$ and study its relation to the Floer cohomology $CF^{\ast}(L)$ of $L$. Using the augmentation induced by $L$, $CE^{\ast}(Λ)$ can be expressed as the Adams cobar construction $Ω$ applied to a Legendrian coalgebra, $LC_{\ast}(Λ)$. We define a twisting cochain:\[\mathfrak{t} \colon LC_{\ast}(Λ) o \mathrm{B} (CF^*(L))^\#\]via holomorphic curve counts, where $\mathrm{B}$ denotes the bar construction and $\#$ the graded linear dual. We show under simply-connectedness assumptions that the corresponding Koszul complex is acyclic which then implies that $CE^*(Λ)$ and $CF^{\ast}(L)$ are Koszul dual. In particular, $\mathfrak{t}$ induces a quasi-isomorphism between $CE^*(Λ)$ and the cobar of the Floer homology of $L$, $ΩCF_*(L)$. We use the duality result to show that under certain connectivity and locally finiteness assumptions, $CE^*(Λ)$ is quasi-isomorphic to $C_{-*}(ΩL)$ for any Lagrangian filling $L$ of $Λ$. Our constructions have interpretations in terms of wrapped Floer cohomology after versions of Lagrangian handle attachments. In particular, we outline a proof that $CE^{\ast}(Λ)$ is quasi-isomorphic to the wrapped Floer cohomology of a fiber disk $C$ in the Weinstein domain obtained by attaching $T^{\ast}(Λ imes[0,\infty))$ to $X$ along $Λ$ (or, in the terminology of arXiv:1604.02540 the wrapped Floer cohomology of $C$ in $X$ with wrapping stopped by $Λ$). Along the way, we give a definition of wrapped Floer cohomology without Hamiltonian perturbations.

研究の動機と目的

• ワイターマン多様体内の正確なラグランジュ被覆 $L$ のフロアコhomology $CF^*(L)$ と、基点付きループ空間係数を伴うシェカノフ＝エリアシベルグ微分複体代数 $CE^*(\Lambda)$ の間に双対性を確立すること。
• ホロモーフィック曲線不変量を用いて、$C^*(L)$ と $C_*(-\Omega L)$ 間の古典的コシュール双対性をシンプレクティック設定に一般化すること。
• ラグランジュのハンドル付加と wrapped フロアコhomology を用いた、代数的双対性の幾何的解釈を提供すること。
• ハミルトニアン摂動を用いずに、ホロモーフィックビルディングを用いて wrapped フロアコhomology を定義し、新しい幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• ワイターマン多様体内のホロモーフィック曲線の数え上げを用いて、$LC_*(\Lambda) \to \mathrm{B}(CF^*(L))^\#$ なるねじれコチェーン $\mathfrak{t}$ を構成する。
• 単純接続性の下で、アダムスのコバーバー構成 $\Omega$ を用いて $CE^*(\Lambda)$ を $CF_*(L)$ のコバーバーと関連づけ、 quasi-isomorphism を確立する。
• バー構成と次数付き双対を用い、$L$ によって誘導される増幅を介して、$LC_*(\Lambda)$ のココールゲブラから $CE^*(\Lambda)$ をコバーバーとして定義する。
• コシュール複体構成を用いて、完全性の検出を実施し、これは quasi-isomorphism を意味し、結果として $CE^*(\Lambda)$ と $\Omega CF_*(L)$ 間の双対性を示す。
• エネルギーフィルトレーションと有限次元近似を用いて、ホロモーフィックディスクの寄与を制御し、小さな作用ウィンドウ内で quasi-isomorphism を証明する。
• wrapped フロアコhomology とシェカノフ＝エリアシベルグ代数の間のチェーン写像 $\Psi_1: CW^*(C) \to CE^*(\Lambda)$ を構成し、語長と作用の制御に基づく帰納的議論により、これが quasi-isomorphism であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シェカノフ＝エリアシベルグ微分複体代数 $CE^*(\Lambda)$ がラグランジュ被覆 $L$ のフロアコhomology $CF^*(L)$ とコシュール双対であるための条件は何か？
• RQ2 ホロモーフィック曲線から構成されるねじれコチェーンが、$CE^*(\Lambda)$ と $CF_*(L)$ のコバーバーの間で quasi-isomorphism をどのように誘導するか？
• RQ3 ワイターマン領域内で $\Lambda$ によってラッピングが停止するファイバー円盤 $C$ の wrapped フロアコhomology $CW^*(C)$ の幾何的意味は何か？
• RQ4 ハミルトニアン摂動を避けて、ホロモーフィックビルディングを用いて wrapped フロアコhomology を定義できるか？
• RQ5 この双対性は、代数的トポロジーにおける古典的コシュール双対性をどのようにシンプレクティック設定に一般化するか？

主な発見

• 単純接続性の仮定の下で、ねじれコチェーン $\mathfrak{t}$ は $CE^*(\Lambda)$ と $\Omega CF_*(L)$ 間の quasi-isomorphism を誘導し、コシュール双対性を確立する。
• 連結性および局所有限性の仮定の下で、シェカノフ＝エリアシベルグ代数 $CE^*(\Lambda)$ は任意の $\Lambda$ のラグランジュ被覆 $L$ に対して $C_{-*}(\Omega L)$ と quasi-isomorphic である。
• チェーン写像 $\Psi_1: CW^*(C) \to CE^*(\Lambda)$ は quasi-isomorphism であり、小さな作用ウィンドウ内では三角行列作用行列と $\pm 1$ の対角成分を持つ。
• ホロモーフィック曲線の数え上げを用いたねじれコチェーンの構成は、シンプレクティック位相幾何における代数的コシュール双対性の幾何的実現を提供する。
• $T^*(\Lambda \times [0,\infty))$ を付加して得られるワイターマン領域内でのファイバー円盤 $C$ の wrapped フロアコhomology $CW^*(C)$ は、$\Lambda$ によってラッピングが停止する条件下で $CE^*(\Lambda)$ と quasi-isomorphic である。
• 本稿は、ハミルトニアン摂動を避けてホロモーフィックビルディングを用いることで、wrapped フロアコhomology の摂動なし定義を提供する。