[論文レビュー] Duality for spatially interacting Fleming-Viot processes with mutation and selection

Donald A. Dawson, Andreas Greven|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、変異および選択を伴う空間的に相互作用するフレ밍・ヴィオット過程に対して、融合・分岐するランダムウォークによって駆動される関数値・集合値・テーブル値の双対過程を用いて、双対関係を確立する。主な貢献は、一意的な平衡分布への初期条件に依存しないすべてのモーメントの収束を保証する、厳密な集合値双対過程の確立であり、弱選択および空間的混合下でも成り立つ。

ABSTRACT

Consider a system $X = ((x_ξ(t)), ξ\in Ω_N)_{t \geq 0}$ of interacting Fleming-Viot diffusions with mutation and selection which is a strong Markov process with continuous paths and state space $(\CP(\I))^{Ω_N}$, where $\I$ is the type space, ${Ω_N}$ the geographic space is assumed to be a countable group and $\CP$ denotes the probability measures. We establish various duality relations for this process. These dualities are function-valued processes which are driven by a coalescing-branching random walk, that is, an evolving particle system which in addition exhibits certain changes in the function-valued part at jump times driven by mutation. In the case of a finite type space $\I$ we construct a set-valued dual process, which is a Markov jump process, which is very suitable to prove ergodic theorems which we do here. The set-valued duality contains as special case a duality relation for any finite state Markov chain. In the finitely many types case there is also a further tableau-valued dual which can be used to study the invasion of fitter types after rare mutation. This is carried out in \cite{DGsel} and \cite{DGInvasion}.

研究の動機と目的

• 空間的設定下での変異および選択を伴う相互作用的フレミング・ヴィオット拡散過程の包括的な双対理論の構築。
• 複雑な測度値拡散過程の解析を簡素化する関数値・集合値・テーブル値の双対過程の確立。
• 集合値双対を活用して、系のエルゴード定理を証明し、すべてのモーメントが一意的な平衡分布に収束することを示す。
• 空間的混合下でも、長距離移動を伴う場合でも、極限分布がシフトエルゴード的であることを示す。
• 以降の研究で応用されるテーブル値双対を用いて、より優位なタイプの侵入ダイナミクスを研究するための枠組みを提供する。

提案手法

• 過程は、弱一意性および強マルコフ性を保証する、適切に定義されたマルティンゲール問題として特徴づけられ、状態空間 $({\mathcal{P}}(\mathbb{I}))^{\Omega_N}$ 上で定義される。
• 関数値双対過程は、変異駆動のジャンプを伴う融合・分岐するランダムウォークを用いて構成され、恒等式 $\mathbb{E}[H(Z(t),Z'_0)] = \mathbb{E}[H(Z_0,Z'(t))]$ を通じて双対性が成立する。
• 有限タイプ空間の場合、融合および分岐を経て進化するマルコフジャンプ過程として集合値双対過程が導入され、$\mathbb{I}$ や $\emptyset$ におけるトラップを備えることで、モーメント収束が保証される。
• 解析的取り扱いやすさと解釈可能性を向上させるために、順序付き要因と結合された和項を用いて集合値双対を精緻化する。
• McKean-Vlasov極限は、$S=\mathbb{N}$ における双対の考察により分析され、独立な双対クラウドが進化し、正の確率での解消確率により最終的に終了する。
• 空間的均質性およびエルゴード性は、遠く離れた双対クラウド間の衝突確率が階層的距離に応じて指数的に減少することを示すことにより証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変異および選択を伴う空間的に相互作用するフレミング・ヴィオット過程に対して、どのように双対性を確立できるか？
• RQ2 有限タイプの場合の集合値双対過程の構造と挙動は何か？ そして、それがエルゴード性の証明にどのように寄与するか？
• RQ3 系の混合モーメントはどのように平衡状態に収束するか？ また、極限分布を決定づける要因は何か？
• RQ4 移動および空間的構造は、系の収束性およびエルゴード性にどのように寄与するか？
• RQ5 双対過程は、遺伝的系統的構造およびより優位なタイプの侵入ダイナミクスをどのように反映するか？

主な発見

• 集合値双対過程は、確率1で有限の確率的時間内にトラップ（全集合 $\mathbb{I}$ または空集合 $\emptyset$）に到達し、初期条件に依存しないすべてのモーメントの収束を保証する。
• 系のすべてのモーメントは、同じ一意的な平衡分布に収束する。これは、すべての $i,j\in\{1,\dots,M\}$ に対して $m_{i,j}>0$ を満たす相互作用的フレミング・ヴィオット過程のエルゴード定理を証明する。
• 極限状態はシフトエルゴード的であり、大規模な階層的距離 $\ell$ におけるサイト間の相関が $\sim \frac{c_\ell / N^{2\ell}}{\lambda + c_\ell / N^{2\ell}}$ のように減少し、$\ell\to\infty$ のとき0に近づく。
• $M=2$ の場合、任意のサイトが $(11)$ に到達すれば双対過程は $1$ に解消し、すべてが $(00)$ に解消して移住者を生成しない場合にのみ $0$ に解消する。この過程は確率1で終了する。
• $M>2$ の場合、テーブルの列数は正再帰的であり、すべての因子が $\mathbb{I}$ または $\emptyset$ に到達するトラップに最終的に到達する。これによりモーメント収束が保証される。
• McKean-Vlasov極限では、独立した双対クラウドが存在し、正の解消確率により最終的に終了する。これによりモーメント収束およびエルゴード性が保証される。