[논문 리뷰] Duality theorems for étale gerbes on orbifolds

Xiang Tang, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 오비폴드 $\mathcal{B}$ 위의 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 와 평탄한 $U(1)$-gerbe $c$를 지닌 이중 비연결 오비폴드 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 사이의 수학적 이중성 관계를 수립한다. 비가환 기하학과 심플렉틱 토폴로지 기법을 사용하여, $\mathcal{Y}$ 위의 층의 범주가 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 위의 $c$- twisted 층의 범주와 동치임을 증명하고, $\mathcal{Y}$의 Chen-Ruan 오비폴드 코homology가 $\widehat{\mathcal{Y}}$의 $c$-twisted 오비폴드 코homology와 그레이드 대수로서 동형임을 보인다.

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group and $\Y$ a $G$-gerbe over an orbifold $\B$. A disconnected orbifold $\hat{\Y}$ and a flat U(1)-gerbe $c$ on $\hat{\Y}$ is canonically constructed from $\Y$. Motivated by a proposal in physics, we study a mathematical duality between the geometry of the $G$-gerbe $\Y$ and the geometry of $\hat{\Y}$ {\em twisted by} $c$. We prove several results verifying this duality in the contexts of noncommutative geometry and symplectic topology. In particular, we prove that the category of sheaves on $\Y$ is equivalent to the category of $c$-twisted sheaves on $\hat{\Y}$. When $\Y$ is symplectic, we show, by a combination of techniques from noncommutative geometry and symplectic topology, that the Chen-Ruan orbifold cohomology of $\Y$ is isomorphic to the $c$-twisted orbifold cohomology of $\hat{\Y}$ as graded algebras.

연구 동기 및 목표

• 오비폴드 $\mathcal{B}$ 위의 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 와 평탄한 $U(1)$-gerbe $c$를 지닌 이중 비연결 오비폴드 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 사이의 수학적 이중성을 수립하며, 이는 등각 장 이론 이중성에 대한 물리적 제안에 기반한다.
• 표현 이론과 군oid 대수학의 결과를 확장하여, $\mathcal{Y}$ 위의 층의 범주가 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 위의 $c$-twisted 층의 범주와 동치임을 증명한다.
• 만일 $\mathcal{Y}$가 심플렉틱이라면, $\mathcal{Y}$의 Chen-Ruan 오비폴드 코homology가 $\widehat{\mathcal{Y}}$의 $c$-twisted 오비폴드 코homology와 그레이드 대수로서 동형임을 보인다.
• 이중성을 대수기하학적 설정으로 일반화하여, 델리-무어포드 스택 위의 ( quasi- ) 층에 대해서도 동치가 성립함을 보인다.
• 특히 $\mathcal{B}$의 군집 모듈리 공간에서 올려진 층에 대해, 이중성이 텐서곱과 어떻게 상호작용하는지 명확히 한다.

제안 방법

• 유한군 $G$의 기저가 되는 기약 유니터리 표현들의 집합 $\widehat{G}$로 이루어진 이중 오비폴드 $\widehat{\mathcal{Y}}$를 구성하고, 여기에 자연스러운 평탄한 $U(1)$-gerbe $c$를 부여한다.
• 맥케이 기계와 모리타 동치를 사용하여, $M$ 위의 $G$-층의 범주를 $M \times \widehat{G}$ 위의 $\widehat{G}$-동차층의 범주와 연결한다. 이는 유한군의 표현 이론에 기반한다.
• 프로포지션 4.5에서 유도된 코ycle $c$를 사용하여, $M \times \widehat{G}$ 위에 $c$-twisted $\widehat{\mathfrak{Q}}$-층의 구조를 정의한다. 이는 사상 $j: \mathfrak{H} \to \mathfrak{Q}$를 통해 확장된다.
• $\mathcal{V}_G$라는 표준 층을 이용한 텐서곱을 통해, $M$ 위의 $\mathfrak{H}$-층과 $M \times \widehat{G}$ 위의 $c$-twisted $\widehat{\mathfrak{Q}}$-층 사이의 동치를 수립한다. 이 층은 표현 데이터를 캡슐화한다.
• Hochschild 복합체 사이의 준동형사상(quasi-isomorphism)을 사용하여, $\mathcal{Y}$의 군oid 대수의 Hochschild 코homology가 $\widehat{\mathcal{Y}}$의 이중 군oid 대수의 Hochschild 코homology와 동형임을 증명한다.
• Chen-Ruan 코homology에 이중성을 적용하기 위해, $\widehat{\mathcal{Y}}$의 $c$-twist된 코homology 환과 $\mathcal{Y}$의 Chen-Ruan 코homology 환 간의 일치를 심플렉틱 기하학 및 비가환 기하학적 기법을 통해 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오비폴드 $\mathcal{B}$ 위의 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$의 기하학과 평탄한 $U(1)$-gerbe $c$를 지닌 이중 비연결 오비폴드 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 사이에 표준적인 이중성이 존재하는가?
• RQ2 표현 이론과 군oid 대수학의 결과를 확장하여, $\mathcal{Y}$ 위의 층의 범주가 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 위의 $c$-twisted 층의 범주와 대응되는가?
• RQ3 만일 $\mathcal{Y}$가 심플렉틱이라면, $\mathcal{Y}$의 Chen-Ruan 오비폴드 코homology가 $\widehat{\mathcal{Y}}$의 $c$-twisted 오비폴드 코homology와 그레이드 대수로서 동형인가?
• RQ4 특히 $\mathcal{B}$의 군집 모듈리 공간에서 올려진 층에 대해, 이중성이 텐서곱과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 이중성은 델리-무어포드 스택과 (quasi-)coherent 층을 포함한 대수기하학적 설정으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 정리 7.11에 의해, $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 위의 층의 범주는 이중 오비폴드 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 위의 $c$-twisted 층의 범주와 동치이다.
• 만일 $\mathcal{Y}$가 심플렉틱이라면, $\mathcal{Y}$의 Chen-Ruan 오비폴드 코homology는 $\widehat{\mathcal{Y}}$의 $c$-twisted 오비폴드 코homology와 그레이드 대수로서 동형이다.
• 이중성은 대수기하학적 설정으로 일반화된다: $\mathcal{Y}$ 위의 (quasi-)coherent 층의 아벨 범주는 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 위의 $c$-twisted (quasi-)coherent 층의 아벨 범주와 동치이다.
• 층의 범주 간의 동치는 일반적으로 텐서곱을 보존하지 않지만, $\mathcal{B}$의 군집 모듈리 공간에서 올려진 층에 대해서는 텐서곱과 호환된다.
• $\mathcal{Y}$의 군oid 대수의 Hochschild 코homology는 $\widehat{\mathcal{Y}}$의 이중 군oid 대수의 Hochschild 코호모로지와 동형이며, Hochschild 복합체 사이의 준동형사상에 의해 유도된다.
• 이중성은 $M \times \widehat{G}$ 위의 표준 층 $\mathcal{V}_G$를 통해 실현되며, 이 층을 통한 텐서곱이 동치를 유도한다. 이는 맥케이 기계를 게르베와 틀린 층으로 일반화한 것이다.