[論文レビュー] Dynamic Delaunay tetrahedralizations and Voronoi tessellations in three dimensions

Gernot Schaller, Michael Meyer‐Hermann|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2003

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、3単体データ構造を用いて、時間変化する頂点位置と変化する頂点数のもとで、3次元デローラン・テトラヒーダル化とその双対であるボロノイタイル化を動的・運動的に維持するためのアルゴリズムを提示する。新規の頂点削除および点位置特定技術を導入することで、時間変化する頂点位置と頂点数の変化に耐えうる、堅牢なデローラン三角形分割の構築および維持が可能となり、偏微分方程式のグリッドベースのソルバーや生物学的シミュレーションへの応用が可能である。

ABSTRACT

We describe the implementation of algorithms to construct and maintain three-dimensional dynamic Delaunay triangulations with kinetic vertices using a three-simplex data structure. The code is capable of constructing the geometric dual, the Voronoi or Dirichlet tessellation. Initially, a given list of points is triangulated. Time evolution of the triangulation is not only governed by kinetic vertices but also by a changing number of vertices. We use three-dimensional simplex flip algorithms, a stochastic visibility walk algorithm for point location and in addition, we propose a new simple method of deleting vertices from an existing three-dimensional Delaunay triangulation while maintaining the Delaunay property. The dual Dirichlet tessellation can be used to solve differential equations on an irregular grid, to define partitions in cell tissue simulations, for collision detection etc.

研究の動機と目的

• 時間変化する頂点位置のもとで、動的3次元デローラン三角形分割を堅牢に維持するためのアルゴリズムの開発。
• 頂点数の動的変化、特にデローラン性質を保持したまま効率的な頂点削除を可能とするサポート。
• 科学的計算およびシミュレーションに使用するための幾何学的双対、すなわちボロノイまたはディリクレタイル化の構築。
• 不規則グリッドソルバーや細胞組織モデリング、コリジョン検出への実用的応用の実現。
• 3単体データ構造内での効率的な点位置特定および単体の反転操作の統合。

提案手法

• アルゴリズムは、3次元でのデローラン三角形分割の表現および維持に、3単体データ構造を用いる。
• 頂点の移動や挿入後のデローラン条件の回復に、3次元の単体反転操作を採用する。
• 動的三角形分割内での効率的な点位置特定に、確率的可視性ウォークアルゴリズムを用いる。
• 頂点の削除のための新規手法を提案し、削除後のデローラン性質の保持を保証する。
• 幾何学的双対として、デローラン三角形分割の双対であるボロノイタイル化を計算する。
• 計算中に頂点の時間発展および頂点数の動的変化をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変化する頂点運動のもとで、3次元デローラン三角形分割を効率的に維持する方法は何か？
• RQ2 デローラン性質を保持したまま、3次元デローラン三角形分割から頂点を効果的に削除する方法は何か？
• RQ3 動的3次元デローラン三角形分割内で、点位置特定を効率的に行う方法は何か？
• RQ4 動的3次元デローランテトラヒーダル化の表現および更新に最も適したデータ構造は何か？
• RQ5 動的デローラン三角形分割の双対として、ボロノイタイル化を段階的に構築・維持する方法は何か？

主な発見

• 提案された頂点削除手法は、完全な再三角形化を要せず、3次元三角形分割におけるデローラン性質を効果的に維持する。
• 確率的可視性ウォークアルゴリズムにより、動的3次元デローラン三角形分割内での効率的な点位置特定が可能となった。
• 3単体データ構造は、時間変化する頂点運動に伴う三角形分割の堅牢かつ効率的な更新をサポートする。
• アルゴリズムは、時間発展シミュレーション中に頂点数の動的変化（挿入および削除を含む）をサポートする。
• 幾何学的双対としてのボロノイタイル化は、デローラン三角形分割とともに段階的に計算・維持可能である。
• このフレームワークにより、不規則グリッド上の偏微分方程式の解法や生物学的細胞組織のモデリングへの実用的応用が可能となった。