[論文レビュー] Dynamic Fair Division Problem with General Valuations

Bo Li, Yingkai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間とともに到着および退去する一般の非均一評価を持つプレイヤーに割り当てる分割可能なリソースに対する動的公平配分アルゴリズムを提案する。1リコール可能なアルゴリズムを導入し、$O(\log n)$-比例的および$O(n)$- envy-freeの公平性を達成することを示し、敵対的構成を用いてこれらの境界が対数要因を除いてタイトであることを証明する。また、異なる需要を持つ均一評価への拡張を行い、$O(\log n)$-公平なアルゴリズムと一致する下界を示した。

ABSTRACT

In this paper, we focus on how to dynamically allocate a divisible resource fairly among n players who arrive and depart over time. The players may have general heterogeneous valuations over the resource. It is known that the exact envy-free and proportional allocations may not exist in the dynamic setting [Walsh, 2011]. Thus, we will study to what extent we can guarantee the fairness in the dynamic setting. We first design two algorithms which are O(log n)-proportional and O(n)-envy-free for the setting with general valuations, and by constructing the adversary instances such that all dynamic algorithms must be at least Omega(1)-proportional and Omega(n/log n)-envy-free, we show that the bounds are tight up to a logarithmic factor. Moreover, we introduce the setting where the players' valuations are uniform on the resource but with different demands, which generalize the setting of [Friedman et al., 2015]. We prove an O(log n) upper bound and a tight lower bound for this case.

研究の動機と目的

• プレイヤーが時間とともに到着および退去する状況において、一般の非均一評価を持つプレイヤーの不満を最小限に抑える動的割り当てアルゴリズムを設計すること。
• 正確な公平性が達成できない動的設定において、比例性および羞性なしの公平性近似の最良の可能性を定量化すること。
• 公平性近似の上界と下界のギャップを、タイトな敵対的インスタンスの構築により埋めること。
• 需要を伴う均一評価に関する先行研究を一般化し、より広い評価関数のクラスへと結果を拡張すること。

提案手法

• プレイヤーの到着に応じて分割可能なリソースを動的割り当てする2つの1リコール可能なアルゴリズムを設計し、直前の1人のプレイヤーの割り当てを再割り当て可能とする。
• 近似比による公平性の定義：$\sigma$-比例的（各プレイヤーが自身の総評価の少なくとも$1/(\sigma n)$を獲得）および$\xi$-羞性なし（どのプレイヤーも他者を$1/\xi$以上羞性しない）。
• $m = \log n / 3$ラウンドからなる敵対的インスタンスを構築し、各ラウンドでプレイヤー数が4分の1に減少し、需要が8倍に増加する。
• 和と積分の近似を用いて割り当てられたリソース総量の下界を導出し、均一需要の場合の$\Omega(\log n)$-公平性の下界を導出する。
• 構築されたインスタンスにおいて、いかなる1リコール可能アルゴリズムも少なくとも$\Omega(\log n)$-公平性を負担しなければならないことを示し、境界のタイトさを証明する。
• $\tau$-リコール可能アルゴリズムへの拡張のために、敵対的構成を$1/(4\tau)$および$8\tau$のスケーリングで調整し、$\Omega(\log n)$の下界を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非均一評価を持つ動的公平配分において、比例性および羞性なしの最良の近似比は何か？
• RQ2 1リコール性のもとで$O(\log n)$-比例的および$O(n)$-羞性なしのアルゴリズムが達成可能であり、これらの境界がタイトか？
• RQ3 プレイヤーが均一評価だが異なる需要を持つ場合、どのような公平性保証が可能か？一般評価と比較するとどうなるか？
• RQ4 均一需要モデルにおいて$\Omega(\log n)$-公平性の下界は、1リコール可能アルゴリズムに対してもタイトか？
• RQ5 非無駄な仮定なしに、$\tau \geq 2$の$\tau$-リコール可能アルゴリズムにおいて、公平性近似を改善できるか？

主な発見

• 提案された1リコール可能アルゴリズムは、一般評価関数に対して$O(\log n)$-比例的および$O(n)$-羞性なしの公平性を達成し、既知の下界と対数要因を除いて一致する。
• 敵対的インスタンスにより、いかなる1リコール可能アルゴリズムも$\Omega(\frac{n}{\log n})$-羞性なしでなければならないことが示され、$O(n)$の境界が対数要因を除いてタイトであることが証明された。
• 異なる需要を持つ均一評価の場合は、$O(\log n)$-公平なアルゴリズムを構築し、一致する$\Omega(\log n)$の下界を証明した。これにより、タイトさが確立された。
• 定数$\tau$の$\tau$-リコール可能アルゴリズムに対しても、$1/(4\tau)$および$8\tau$のスケーリングを用いた敵対的インスタンスの調整により、$\Omega(\log n)$-公平性の下界が成立する。
• 結果として、均一需要モデルではいかなるアルゴリズムも$\Omega(\log n)$-公平性を下回ることはできず、一般評価関数設定においても、対数要因を除いて改善は不可能であることが示された。